题目背景
由于你的帮助，火星只遭受了最小的损失。但gw懒得重建家园了，就造了一艘飞船飞向遥远的earth星。不过飞船飞到一半，gw发现了一个很严重的问题：肚子饿了~
gw还是会做饭的，于是拿出了储藏的食物准备填饱肚子。gw希望能在T时间内做出最美味的食物，但是这些食物美味程度的计算方式比较奇葩，于是绝望的gw只好求助于你了。
题目描述
一共有n件食材，每件食材有三个属性，ai，bi和ci，如果在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，用第i件食材做饭要花去ci的时间。
众所周知，gw的厨艺不怎么样，所以他需要你设计烹调方案使得美味指数最大
输入格式
第一行是两个正整数T和n，表示到达地球所需时间和食材个数。
下面一行n个整数，ai
下面一行n个整数，bi
下面一行n个整数，ci
输出格式
输出最大美味指数
输入输出样例
输入 #1
74 1 502 2 47
输出 #1
408
说明/提示
【数据范围】
对于40%的数据1<=n<=10
对于100%的数据1<=n<=50
所有数字均小于100,000
【题目来源】
tinylic改编
思路
第一眼觉得是一个01背包问题，写了写过了样例，但是只能过6个点。
然后发现由于时间不同，实际上每个物品的价值也会受到影响。
一种物品在不同的时间上可以看作是多种物品。
可以用数学归纳法证明：
假设对于相邻的两个时间点x和y
分别有两种不同的价值
若先选x(也就是后选y，t[x]=t+c[x],t[y]=t+c[x]+c[y]):
v1=a[x]-(t+c[x])*b[x]+a[y]-(t+c[x]+c[y])*b[y]
若先选y：
v2=a[y]-(t+c[y])*b[y]+a[x]-(t+c[y]+c[x])*b[x]
假定先选x价值大
将v1、v2去括号展开，相减
最终得到：c[y]*b[x]>c[x]*b[y];
由此，保证了取得局部最优解的情况下进行01背包，就可以求解出答案了
CODE
#include <bits/stdc++.h>
#define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
#define eps 1e-8
#define pi acos(-1.0)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
template<class T>inline void read(T &res)
{
char c;T flag=1;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0';res*=flag;
}
namespace _buff {
const size_t BUFF = 1 << 19;
char ibuf[BUFF], *ib = ibuf, *ie = ibuf;
char getc() {
if (ib == ie) {
ib = ibuf;
ie = ibuf + fread(ibuf, 1, BUFF, stdin);
}
return ib == ie ? -1 : *ib++;
}
}
int qread() {
using namespace _buff;
int ret = 0;
bool pos = true;
char c = getc();
for (; (c < '0' || c > '9') && c != '-'; c = getc()) {
assert(~c);
}
if (c == '-') {
pos = false;
c = getc();
}
for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getc()) {
ret = (ret << 3) + (ret << 1) + (c ^ 48);
}
return pos ? ret : -ret;
}
const int maxn = 1e5 + 7;
int T, n;
struct node {
LL a, b, c;
} v[maxn];
LL f[maxn];
bool cmp(node x, node y) {
return x.b * y.c > y.b * x.c;
}
int main()
{
read(T);
read(n);
memset(f, -1, sizeof(f));
f[0] = 0;
for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
read(v[i].a);
}
for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
read(v[i].b);
}
for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
read(v[i].c);
}
LL ans = INT_MIN;
sort(v + 1, v + n + 1, cmp);
for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
for ( int j = T; j >= v[i].c; --j ) {
f[j] = max(f[j], f[j - v[i].c] + v[i].a - (LL)j * v[i].b);
//ans = max(f[j], ans);
}
}
for ( int i = 0; i <= T; ++i ) {
ans = max(ans, f[i]);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}