P3382 【模板】三分法

P3382 【模板】三分法

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题目提供者 HansBug

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题目描述

如题，给出一个 NNN 次函数，保证在范围 [l,r][l, r][l,r] 内存在一点 xxx，使得 [l,x][l, x][l,x] 上单调增，[x,r][x, r][x,r] 上单调减。试求出 xxx 的值。

输入格式

第一行一次包含一个正整数 NNN 和两个实数 l,rl, rl,r，含义如题目描述所示。

第二行包含 N+1N + 1N+1 个实数，从高到低依次表示该 NNN 次函数各项的系数。

输出格式

输出为一行，包含一个实数，即为 xxx 的值。四舍五入保留 555 位小数。

输入输出样例

输入 #1

3 -0.9981 0.5
1 -3 -3 1

输出 #1

-0.41421

说明/提示

对于 100%100\%100% 的数据，7≤N≤137 le N le 137≤N≤13。

【样例解释】

如图所示，红色段即为该函数 f(x)=x3−3x2−3x+1f(x) = x^3 - 3 x^2 - 3x + 1f(x)=x3−3x2−3x+1 在区间 [−0.9981,0.5][-0.9981, 0.5][−0.9981,0.5] 上的图像。

当 x=−0.41421x = -0.41421x=−0.41421 时图像位于最高点，故此时函数在 [l,x][l, x][l,x] 上单调增，[x,r][x, r][x,r] 上单调减，故 x=−0.41421x = -0.41421x=−0.41421，输出 −0.41421-0.41421−0.41421。

（Tip.l&r的范围并不是非常大ww不会超过一位数）

思路：

　　求单峰极值可以想到模拟退火三分，和二分类比一下，二分需要一个中间点，三分需要两个中间点，就是三等分点然后根据求的是极大值还是极小值比较三分点并转移

CODE

#include <bits/stdc++.h>
#define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
#define eps 1e-8

using namespace std;
typedef long long LL;

template<class T>inline void read(T &res)
{
    char c;T flag=1;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0';res*=flag;
}

namespace _buff {
    const size_t BUFF = 1 << 19;
    char ibuf[BUFF], *ib = ibuf, *ie = ibuf;
    char getc() {
        if (ib == ie) {
            ib = ibuf;
            ie = ibuf + fread(ibuf, 1, BUFF, stdin);
        }
        return ib == ie ? -1 : *ib++;
    }
}

int qread() {
    using namespace _buff;
    int ret = 0;
    bool pos = true;
    char c = getc();
    for (; (c < '0' || c > '9') && c != '-'; c = getc()) {
        assert(~c);
    }
    if (c == '-') {
        pos = false;
        c = getc();
    }
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getc()) {
        ret = (ret << 3) + (ret << 1) + (c ^ 48);
    }
    return pos ? ret : -ret;
}

int n;
double l,r;
double a[20];

double f(double x) {//函数计算
    double u = 1, p = 0;
    for(int i = n; i >= 0; --i) {
        p += u*a[i];
        u *= x;
    }
    return p;
}

double ts(double l, double r) {
    while(l + eps < r) {
        double lmid = l + (r-l)/3, rmid = r - (r-l)/3;
        if(f(lmid) <= f(rmid)) {
            l = lmid;
        }
        else {
            r = rmid;
        }
    }
    return r;
}

int main()
{
    memset(a, 0, sizeof(a));
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lf%lf",&l, &r);

    for(int i = 0; i <= n; ++i) {
        scanf("%lf", &a[i]);
    }
    printf("%.5f
",ts(l,r));
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
#define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
#define eps 1e-8

using namespace std;
typedef long long LL;

template<class T>inline void read(T &res)
{
    char c;T flag=1;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0';res*=flag;
}

namespace _buff {
    const size_t BUFF = 1 << 19;
    char ibuf[BUFF], *ib = ibuf, *ie = ibuf;
    char getc() {
        if (ib == ie) {
            ib = ibuf;
            ie = ibuf + fread(ibuf, 1, BUFF, stdin);
        }
        return ib == ie ? -1 : *ib++;
    }
}

int qread() {
    using namespace _buff;
    int ret = 0;
    bool pos = true;
    char c = getc();
    for (; (c < '0' || c > '9') && c != '-'; c = getc()) {
        assert(~c);
    }
    if (c == '-') {
        pos = false;
        c = getc();
    }
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getc()) {
        ret = (ret << 3) + (ret << 1) + (c ^ 48);
    }
    return pos ? ret : -ret;
}

int n;
double l,r;
double a[20];

double f(double x) {///多项式求值秦九韶算法把2n+1次乘法n次加法简化为n次乘法和n次加法
    double u = 1, p = 0;
    for(int i = n; i >= 0; --i) {
        p += u*a[i];
        u *= x;
    }
    return p;
}

double ts(double l, double r) {
    while(l + eps < r) {
        double lmid = l + (r-l)/3, rmid = r - (r-l)/3;
        if(f(lmid) <= f(rmid)) {
            l = lmid;
        }
        else {
            r = rmid;
        }
    }
    return r;
}

int main()
{
    memset(a, 0, sizeof(a));
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lf%lf",&l, &r);

    for(int i = 0; i <= n; ++i) {
        scanf("%lf", &a[i]);
    }
    printf("%.5f
",ts(l,r));
    return 0;