机器学习笔记（五）神经网络参数的拟合

Cost function（代价函数）

1、参数表示：

m 个训练样本：{(x⁽¹⁾, y⁽¹⁾), (x⁽²⁾, y⁽²⁾), ..., (x^(m), y^(m))}

神经网络的层数：L

l 层的神经元数量（不计入偏置单元）：S_l

2、两种分类问题：

（1）Binary classification（二元分类）：

y = 0 or 1

只有一个输出单元 / h_θ(x)为一个实数 / S_L = 1

（2）Multi-class classification（多类别分类）：

有K个输出单元

 

3、代价函数：

 Backpropagation algorithm（反向传播算法）

1、字符定义：

 δ_j^(l) ：表示第 l 层的第 j 个结点的误差。   

a_j^(l) :   表示第 l 层的第 j 个结点的激励值。

2、计算过程：（假设是4层神经网络，即下图）【后期推导】

 对于第4层的每一个输出单元：

 δ_j⁽⁴⁾ = a_j⁽⁴⁾- y_j （其中 a_j⁽⁴⁾ 也可记为h_θ(x)）

向量化：δ⁽⁴⁾ = a⁽⁴⁾- y

δ⁽³⁾ = (Θ⁽³⁾)^Tδ⁽⁴⁾ .*g'(z⁽³⁾) ，其中 g'(z⁽³⁾) = a⁽³⁾.*(1-a⁽³⁾)

δ⁽²⁾ = (Θ⁽²⁾)^Tδ⁽³⁾ .*g'(z⁽²⁾) ，其中 g'(z⁽²⁾) = a⁽²⁾.*(1-a⁽²⁾)

δ⁽¹⁾ 不存在误差。

3、算法流程：

（其中向量化表示Δ：）

 

 通过证明可得【后期推导】：

4、理解算法：

如果 λ = 0，则cost函数为：

 接*于*方误差函数。

而δ_j^(l) 是cost函数的偏微分：

类似于正向传播，反向传播也有：

δ_j^(l)  = Θ_ij^(l) δ_i^(l+1) + Θ_{i+1 j}^(l) δ_i+1^(l+1) + Θ_{i+2 j}^(l) δ_i+2^(l+1)... 

例如：

5、算法实现：

（1）简述：

参数：

①先对Θ⁽¹⁾,Θ⁽²⁾,Θ^(3),...进行初始化（跟逻辑回归不一样，这里的 Θ 是矩阵）；

②实现 costFunction 计算 J 和 grad：根据 Θ 正向/反向计算出 D 和 J(Θ)；

③使用 fminunc 函数求出 Θ。

（2）Gradient checking（梯度检测）：

 一般情况下，ϵ=10⁻⁴

 对于多个θ，可以具体为：

代码实现：

epsilon = 1e-4;
for i = 1:n,
　　thetaPlus = theta;
　　thetaPlus(i) += epsilon;
　　thetaMinus = theta;
　　thetaMinus(i) -= epsilon;
　　gradApprox(i) = (J(thetaPlus) - J(thetaMinus))/(2*epsilon)
end;

（3） Random initialization（随机初始化）：

不同于逻辑回归，这里的 Θ 初始值不能为全0. 否则会出现每次迭代更新，每一层上的 θ 参数值相等，且每一个 a 的结果也相等，即 a₁⁽²⁾ = a₂⁽²⁾ = ...。

因此初始化时需要打破对称性，将 Θ_ij^(l) 设置在[ -ϵ, ϵ ]之间。   

代码举例：

If the dimensions of Theta1 is 10x11, Theta2 is 10x11 and Theta3 is 1x11.

Theta1 = rand(10,11) * (2 * INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;
Theta2 = rand(10,11) * (2 * INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;
Theta3 = rand(1,11) * (2 * INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;

神经网络总结

1、选择神经网络：

输入层的神经元数量：根据特征的维度

输出层的神经元数量：根据划分的类别数量

隐藏层的神经元数量：默认多个隐藏层的神经元数量相同，隐藏层的神经元数量稍大于输入特征的数量。

2、训练神经网络：

（1）随机初始化权重；

（2）通过正向传播求 h_θ(x⁽ⁱ⁾)

（3）计算代价函数 J(Θ)

（4）通过反向传播求 D（即）：

　　compute Δ
end %for

compute D

（5）使用梯度检测比较上述计算结果和用数值方法计算结果是否*似。检测结束后将这部分代码去除，保证代码的执行效率。

（6）使用梯度下降法或者其它优化算法最小化 J(Θ)（比如使用fminunc函数）。