最短路径——Floyd-Warshall算法

        Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。

我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下：

void Floyd()
{
     int i,j,k;
     for(k=1;k<=n;k++)
         for(i=1;i<=n;i++)
             for(j=1;j<=n;j++)
                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
｝

注意下第6行这个地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])，从而防止溢出所造成的错误。
  上面这个形式的算法其实是Floyd算法的精简版，而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短路径算法。

例题分析：

设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的长度，其中k 表示该路径中的最大顶点，也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间顶点最大不超过k。因此，如果G中包含边<i, j>，则c[i, j, 0] =边<i, j> 的长度；若i= j ，则c[i,j,0]=0；如果G中不包含边<i, j>，则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 则是从i 到j 的最短路径的长度。   对于任意的k>0，通过分析可以得到：中间顶点不超过k 的i 到j 的最短路径有两种可能：该路径含或不含中间顶点k。若不含，则该路径长度应为c[i, j, k-1]，否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取两者中的最小值。   状态转移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]}，k＞0。   这样，问题便具有了最优子结构性质，可以用动态规划方法来求解。

  为了进一步理解，观察上面这个有向图：若k=0, 1, 2, 3，则c[1,3,k]= +∞；c[1,3,4]= 28；若k = 5, 6, 7，则c [1,3,k] = 10；若k=8, 9, 10，则c[1,3,k] = 9。因此1到3的最短路径长度为9。   下面通过程序来分析这一DP过程，对应上面给出的有向图：

#include <iostream>
using namespace std;

const int INF = 100000;
int n=10,map[11][11],dist[11][11][11];
void init()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            map[i][j]=(i==j)?0:INF;
    map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;
    map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;
    map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;
    map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;
    map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;
}
void floyd_dp()
{
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            dist[i][j][0]=map[i][j];
    for(k=1;k<=n;k++)
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++){
                dist[i][j][k]=dist[i][j][k-1];
                if(dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1]<dist[i][j][k])
                    dist[i][j][k]=dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1];
            }
}
int main()
{
    int k,u,v;
    init();
    floyd_dp();
    while(cin>>u>>v,u||v)
    {
        for(k=0;k<=n;k++)
        {
            if(dist[u][v][k]==INF) cout<<"+∞"<<endl;
             else cout<<dist[u][v][k]<<endl;
        }
    }
    return 0;
 }

 Floyd-Warshall算法不仅能求出任意2点间的最短路径，还可以保存最短路径上经过的节点。下面用精简版的Floyd算法实现这一过程，程序中的图依然对应上面的有向图。

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int INF = 100000;
 5 int n=10,path[11][11],dist[11][11],map[11][11];
 6 void init(){
 7     int i,j;
 8     for(i=1;i<=n;i++)
 9         for(j=1;j<=n;j++)
10             map[i][j]=(i==j)?0:INF;
11     map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;
12     map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;
13     map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;
14     map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;
15     map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;
16 }
17 void floyd(){
18     int i,j,k;
19     for(i=1;i<=n;i++)
20         for(j=1;j<=n;j++)
21             dist[i][j]=map[i][j],path[i][j]=0;
22     for(k=1;k<=n;k++)
23         for(i=1;i<=n;i++)
24             for(j=1;j<=n;j++)
25                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
26                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j],path[i][j]=k;
27 }
28 void output(int i,int j){
29     if(i==j) return;
30     if(path[i][j]==0) cout<<j<<' ';
31     else{
32         output(i,path[i][j]);
33         output(path[i][j],j);
34     }
35 }
36 int main(){
37     int u,v;
38     init();
39     floyd();
40     while(cin>>u>>v,u||v){
41         if(dist[u][v]==INF) cout<<"No path"<<endl;
42         else{
43             cout<<u<<' ';
44             output(u,v);
45             cout<<endl;
46         }
47     }
48     return 0;
49 }

  输入 1 3                    
  输出 1 2 5 8 6 3

  转自：Floyd-Warshall算法DP流程详解