向量的数量积，向量积，混合积

设两向量分别为 α 和 β，

• 数量积

　　　　α • β = |α| |β| cosθ 　　（θ 为向量 α 和 β 的夹角）

　　　　通过公式我们可以发现，两个向量的数量积就是一个数量。

　　　　数量积又称为点积或者内积。

　　　　ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a₁, a₂, a₃), β = (b_1, b₂, b₃),

 　　　　　α • β = (a₁i + a₂j + a₃k) • (b₁i + b₂j + b₃k) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

　　　　　　即两向量的数量积之和等于它们对应坐标的乘积之和。

 

• 向量积

　　　　向量积是一个向量，通常表示为 α χ β ，

　　　　1. 它的模(即长度)为 |α χ β| = |α| |β| sinθ 　　（θ 为向量 α 和 β 的夹角）

　　　　2. 方向垂直于向量 α 和 β，且 (α, β, α χ β) 构成右手系。

　　　　向量积又称为叉积和外积。

 　　　　ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a₁, a₂, a₃), β = (b_1, b₂, b₃),

　　　　　　α χ β = (a₁i + a₂j + a₃k) χ (b₁i + b₂j + b₃k)

　　　　　　　　　= (a₂b₃ - a₃b₂)i - (a₁b₃ - a₃b₁)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k

　　　　　　行列式表示为

　　　　　　　　

　　　　　　即

　　　　　　　　

　　

• 混合积

　　　　向量α 与 β 的向量积，再与向量 γ 作数量积，其结果为一个数量，称这个数量为

　　　　三向量的 α, β, γ 的混合积，记为 (α, β, γ), 即

　　　　　　(α, β, γ) = (α χ β) • γ

　　　　1. 三向量共面的充要条件为 (α, β, γ) = 0

　　　　2. （空间向量基本定理）任意给定空间中三个不共面向量 α, β, γ，则空间中任一

　　　　　　向量 ν 可以用 α, β, γ 唯一线性表示，即存在唯一一组实数 x, y, z 使

　　　　　　　　ν = xα + yβ + zγ

 　　　 ex: 空间向量运算

　　　　　　在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a₁, a₂, a₃), β = (b_1, b₂, b₃),

　　　　γ = (c₁, c₂, c₃)

　　　　　　

　　　　　　即