1+1=2

# coding: utf-8

# In[95]:

import sympy
sympy.init_session()
e, p, i, o, A = symbols('e, p, i, 0, A')
Riemann = symbols('Riemann', cls=Function)


# 我们有一个形如以下等式的的数学式子，由于其十分复杂，现将其简化

# <b>1+1=2</b>

# 注意到有重要等式

# In[22]:

Eq(1, ln(e))


# 而又由定义

# In[74]:

expr1 = Limit((1+1/p)**p, p, oo)
expr1


# In[75]:

expr1.doit()


# In[46]:

Eq(e, expr1)


# 并做如下规定

# In[87]:

factorial(0)


# In[86]:

Eq(1, factorial(o))


# 又由于黎曼函数在有限闭区间内非0点组成的测度为0，故有

# In[51]:

expr2 = Integral(Riemann(x), (x, 0, 1))
Eq(expr2, 0)


# 同时由无穷级数理论，我们有

# In[70]:

expr3 = Limit(Sum(Rational(1, 2)**i, (i, 0, n)), n, oo)
expr3


# In[68]:

expr3.doit()


# In[69]:

Eq(expr3, 2)


# 那么将前面的部分式子带入，我们有

# In[89]:

Eq(ln(e)+1, expr3)


# 再将 _e_ 带入，得到

# In[91]:

Eq(log(expr1)+factorial(o), expr3)


# 又由于反常积分理论中有

# In[118]:

expr4 = Limit(Integral(E**-x*x**o, (x, 0, A)), A, oo)
expr5 = factorial(expr4)


# In[117]:

Eq(factorial(o), Eq(1, expr5))


# 将黎曼函数代入积分中的x^0项，故

# In[122]:

expr6 = factorial(Limit(Integral(E**-x*x**expr2, (x, 0, A)), A, oo))
Eq(1, expr6)


# 同时，由双曲三角函数恒等式，我们有

# In[133]:

expr7 = cosh(z)**2 - sinh(z)**2
expr7


# In[135]:

Eq(1, expr7)


# 综上所述，我们得到了化简之后的表达式

# In[144]:

expr8 = Limit(Sum(expr7/2**i, (i, 0, n)), n, oo)
expr8


# In[145]:

Eq(expr1 + expr6, expr8)


# 注意到，该式比 1+1=2 更加简单深刻，易于理解。其它数学恒等式也有助于化简此式。
# 这说明，数学分析是一门化繁为简，化抽象于直观、化神奇为腐朽的，不断发展的一门富有活力的基础课程。

# In[ ]:

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