【Atcoder】ARC084 Small Multiple

【题意】求一个k的倍数使其数位和最小，输出数位和，k<=10^5。

【算法】最短路

【题解】考虑极端情况数字是可能爆long long的（例如k*num=100...000），所以确定基本方向是依次考虑答案x的每个数位。

考虑x初始是1~9，每次在后面加一位，就有x*10+0~9十种操作。

但是x可以无限大，而且x必须是k的倍数这点很难实现，综合这两点可以考虑%k。

进一步发现，%k意义下同余的数字是等价的，也就是%k等于同一个数的x只需要保留数字和最小的。

那么就可以得到算法：

k个点表示%k=0~k-1的最小数字和，起点是1~k-1（d[i]=i），终点为0，x向(x*10+0~9)%k连边权为0~9的边，跑最短路。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=100010,maxm=2000010,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,first[maxn],tot,d[maxn],s,t;
//dijkstra---
struct edge{int from,v,w;}e[maxm];
struct Node{
    int x,d;
    bool operator <(const Node &b)const{
        return d>b.d;
    }
}cyc;
priority_queue<Node>q;
void insert(int u,int v,int w)
{tot++;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
int dijkstra()
{
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[s]=0;q.push((Node){s,d[s]});
    while(!q.empty())
     {
        cyc=q.top();q.pop();
        if(cyc.d!=d[cyc.x])continue;
        int x=cyc.x;
        for(int i=first[x];i;i=e[i].from)
         if(d[e[i].v]>d[x]+e[i].w)
          {
              d[e[i].v]=d[x]+e[i].w;
              q.push((Node){e[i].v,d[e[i].v]});
          }
     }
    return d[t];
}
//dijsktra---
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=9;j++)insert(i,((i-1)*10+j)%n+1,j);
    for(int j=1;j<=9;j++)insert(0,j+1,j);
    s=0;t=1;
    printf("%d",dijkstra());
    return 0; 
}

按数位考虑的思想和取模为倍数的思想。