【BZOJ】5010: [Fjoi2017]矩阵填数

【算法】离散化+容斥原理

【题意】给定大矩阵，可以每格都可以任意填1~m，给定n个子矩阵，要求满足子矩阵内的最大值为vi，求方案数。

n<=10,h,w<=1w。

【题解】

此题重点之一在于离散化，因为有效坐标很少，离散化后遵循左闭右开计算矩阵点数。

然后对于每个格，能填的最大值是min(m,vi),vi为覆盖到该点的所有小矩阵，就此算出总方案数。

现在多考虑了一些情况，就是每个小矩阵中至少要有一个格子是最大值，不符合的情况需要剔除。

考虑容斥原理，奇加偶减，不过这里是总方案-容斥部分，所以是奇减偶加。

2^n枚举子集，然后对于选中的矩阵为min(vi-1)，未选中的矩阵为min(vi)，其它为m，即强制选中的矩阵不符合条件。

复杂度O(2^n*[n*n^2+n^2*log n])。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=30,M=1000000007;
 
int h,w,m,n,x1[maxn],y1[maxn],x2[maxn],y2[maxn],vx[maxn];
int x[maxn],y[maxn],totx,toty,totv;
int mat[maxn][maxn],map[maxn][maxn],ans,s;
 
int pow(int x,int k){
    int as=1;
    while(k){
        if(k&1)as=1ll*as*x%M;
        x=1ll*x*x%M;
        k>>=1;
    }
    return as;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d%d",&h,&w,&m,&n);
        totx=toty=totv=0;
        x[++totx]=1;x[++totx]=h+1;
        y[++toty]=1;y[++toty]=w+1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d%d%d%d",&x1[i],&y1[i],&x2[i],&y2[i],&vx[i]);
            x[++totx]=x1[i];x[++totx]=x2[i]+1;
            y[++toty]=y1[i];y[++toty]=y2[i]+1;
        }
        sort(x+1,x+totx+1);totx=unique(x+1,x+totx+1)-x-1;
        sort(y+1,y+toty+1);toty=unique(y+1,y+toty+1)-y-1;
        for(int i=1;i<totx;i++)for(int j=1;j<toty;j++)mat[i][j]=(x[i+1]-x[i])*(y[j+1]-y[j]);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            x1[i]=lower_bound(x+1,x+totx+1,x1[i])-x;
            x2[i]=lower_bound(x+1,x+totx+1,x2[i]+1)-x;
            y1[i]=lower_bound(y+1,y+toty+1,y1[i])-y;
            y2[i]=lower_bound(y+1,y+toty+1,y2[i]+1)-y;
        }
        ans=0;
        for(int S=0;S<(1<<n);S++){
            int num=0;
            for(int i=1;i<totx;i++)for(int j=1;j<toty;j++)map[i][j]=m;
            for(int k=1;k<=n;k++){
                int mx=vx[k];
                if(S&(1<<(k-1))){mx--;num++;}
                for(int i=x1[k];i<x2[k];i++)for(int j=y1[k];j<y2[k];j++)map[i][j]=min(map[i][j],mx);
            }
            if(num&1)s=-1;else s=1;
            for(int i=1;i<totx;i++)for(int j=1;j<toty;j++)s=1ll*s*pow(map[i][j],mat[i][j])%M;
            ans=(ans+s)%M;
        }
        printf("%d
",(ans+M)%M);
    }
    return 0;
}

可以优化一下，统计每个策略时本来是枚举所有点，改为枚举所有权值，因为快速幂取模很慢，所以速度得到了巨大的提升……

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=30,M=1000000007;
 
int h,w,m,n,x1[maxn],y1[maxn],x2[maxn],y2[maxn],vx[maxn];
int x[maxn],y[maxn],v[maxn],totx,toty,totv;
int mat[maxn][maxn],map[maxn][maxn],ans,s,c[maxn];
 
int pow(int x,int k){
    int as=1;
    while(k){
        if(k&1)as=1ll*as*x%M;
        x=1ll*x*x%M;
        k>>=1;
    }
    return as;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d%d",&h,&w,&m,&n);
        totx=toty=totv=0;
        x[++totx]=1;x[++totx]=h+1;
        y[++toty]=1;y[++toty]=w+1;
        v[++totv]=m;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d%d%d%d",&x1[i],&y1[i],&x2[i],&y2[i],&vx[i]);
            x[++totx]=x1[i];x[++totx]=x2[i]+1;
            y[++toty]=y1[i];y[++toty]=y2[i]+1;
            v[++totv]=vx[i];v[++totv]=vx[i]-1;
        }
        sort(x+1,x+totx+1);totx=unique(x+1,x+totx+1)-x-1;
        sort(y+1,y+toty+1);toty=unique(y+1,y+toty+1)-y-1;
        sort(v+1,v+totv+1);totv=unique(v+1,v+totv+1)-v-1;
        for(int i=1;i<totx;i++)for(int j=1;j<toty;j++)mat[i][j]=(x[i+1]-x[i])*(y[j+1]-y[j]);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            x1[i]=lower_bound(x+1,x+totx+1,x1[i])-x;
            x2[i]=lower_bound(x+1,x+totx+1,x2[i]+1)-x;
            y1[i]=lower_bound(y+1,y+toty+1,y1[i])-y;
            y2[i]=lower_bound(y+1,y+toty+1,y2[i]+1)-y;
            vx[i]=lower_bound(v+1,v+totv+1,vx[i])-v;
        }
        ans=0;
        for(int S=0;S<(1<<n);S++){
            int num=0;
            for(int i=1;i<totx;i++)for(int j=1;j<toty;j++)map[i][j]=totv;
            for(int k=1;k<=n;k++){
                int mx=vx[k];
                if(S&(1<<(k-1))){mx--;num++;}
                for(int i=x1[k];i<x2[k];i++)for(int j=y1[k];j<y2[k];j++)map[i][j]=min(map[i][j],mx);
            }
            if(num&1)s=-1;else s=1;
            for(int i=1;i<=totv;i++)c[i]=0;
            for(int i=1;i<totx;i++)for(int j=1;j<toty;j++)c[map[i][j]]+=mat[i][j];
            for(int i=1;i<=totv;i++)s=1ll*s*pow(v[i],c[i])%M;
            ans=(ans+s)%M;
        }
        printf("%d
",(ans+M)%M);
    }
    return 0;
}