ML-支持向量：SVM、SVC、SVR、SMO原理推导及实现

目录

 1.导出目标

 2拉格朗日转换

 3对偶问题：

4求对偶问题

5 求b

6 得出模型

6.1 f(x)的约束条件：

7 核函数

7.1 软间隔

7.2 松弛变量：

7.3 KKT约束 

8 SMO求a

8.1对偶问题上，上面已知对偶形式:

8.2.SMO算法思想

8.2.1更新方法

 8.2.2 推导过程

8.2.3选两点a1,a2的方法

8.2.4b和E计算更新

8.3算法伪代码

 8.4完整实现：

python版

9 SVR支持向量回归

10 sklearn实现SVC（支持向量分类）,SVR（支持向量回归）： 

1）分类classification

2）回归Regression

附一个SVC的实现：

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 1.导出目标

 2拉格朗日转换

 3对偶问题：

因为是希望得出L最小时的一些参数w,b,a，但是目前很难一起求得最佳参数，所以换个思路。因为：

所以能够容易的计算出拉格朗日乘子a约束时的最坏情况是：

 但是m个a的值还是无法求出，而后面会得知，根据L对w,b的求导关系，w,b可以被a表示出来，所以关键变为求a。

根据对偶关系，极大值关系可以转为极小值关系，且转换后的问题会不大于原问题，在取得极值的时候才取等号，也就是：

这样问题变为，先把w,b求导关系代入求L极小值关系，最后再寻找a的问题，最后a的求解会通过SMO等思路求解，具体SMO放到最后讲解，因为太难了。

4求对偶问题

1）求L的极小值时的w,b，求导：

得出极小值需满足如上这些关系

2）代入L求导关系式，求关于a的极大值：

 所以关键是对这个函数求极大值时的a，假设通过后面的SMO找到了，记为a*，那么显然得到了w的解析式：

5 求b

因为对于所有支持向量点（正例上支持向量点位于WTx+b = 1超平面上，反例WTx+b= -1）记作(xs,ys)，均有:

根据KKT条件：ai>0时，yi(WTxi+b)-1=0：（必定：WTxi+b = 1 或WTxi+b= -1）即xi必须是支持向量点，而ai=0时:

也就是说对w无影响，因此上式中w还可以简化成只考虑支持向量点计算（实际上这就是SVM称为支持向量机的原因，因为模型真正起作用的，就只是这些支持向量点）：

假设我们有S个支持向量（位于WTx+b = 1，WTx+b= -1超平面上的点集），则对应我们求出S个b∗,理论上这些b∗都可以作为最终的结果， 但是我们一般采用一种更健壮的办法，即求出所有支持向量所对应的b∗，然后将其平均值作为最后的结果：

 

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6 得出模型

ai参数求出之后，如上所示，就相当于求出了w,b了。就可以得到模型，进行预测了：

  def _f(self, i):
        r = self.b
        for j in range(self.m):
            r += self.alpha[j] * self.Y[j] * self.kernel(self.X[i], self.X[j])
        return r

6.1 f(x)的约束条件：

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7 核函数

现实中可能有些不存在线性的可分超平面，但是可能映射到更高维度可能就可分了，有证明显示，如果原始空间维度有限，那么一定存在高维特征空间使样本可分。

这样对x的映射关系，可以直接用到上面推导的所有公式里：

原问题映射：

对偶形式映射：

这种映射我们并不知道具体是如何的，因此也不知如何去计算了，所以这里就设想出来核函数的概念了：

    def kernel(self, x1, x2):
        if self._kernel == 'linear':
            return sum([x1[k] * x2[k] for k in range(self.n)])

        elif self._kernel == 'poly':
            return (sum([x1[k] * x2[k] for k in range(self.n)]) + 1) ** 2

        return 0

 假设出原来的这种内积映射，是等价于某个函数k(.,.)计算的结果。问题就变成了：

求解后模型为：

核函数性质

k是核函数，当且仅当’核矩阵’K总是半正定：

常见核函数列表：

另外核函数线性组合起来还是核函数（系数为正），k1,k1,r1>0,r2>0：k3=r1k1+r2k2 也是核函数

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7.1 软间隔

讨论软间隔是因为像这种情况，严格分出来（线性不可分了已经，用核函数可以分）是个弯曲的，但实际上应该就是这下面这样一条斜线才是最好的模型表示：

因此办法是，允许在一些情况下出现错误，引入软间隔的概念，在这个软间隔内允许出错。也就是允许不满足约束：

对于不满足的点，我们会累记一个损失函数，再引入惩罚力度因子C，则可以重新定义优化目标：

7.2 松弛变量：

显然，这些损失是常数且>=0，因此引入松弛变量的概念替换原来的损害函数计算结果，重写简化：

上式进行拉格朗日变换：为什么这样：https://blog.csdn.net/jiang425776024/article/details/87607526

同样的求导，对偶和上面4一致，省略。最终得到如下对偶问题：

7.3 KKT约束 

可见，与非软间隔的问题相比，仅仅是对约束ai多了一个上界约束，且约束就是<惩罚因子C。然后同样SMO解得参数就可以得到模型f(x)了，和6一致，同样因为存在不等式约束约束，所以这里模型f(x)有KKT条件约束：

这个约束是有道理的：

a) 如果α=0,那么yi(wTxi+b)−1≥0,即样本在间隔边界上或者已经被正确分类。

b) 如果0<α<C,那么ξi=0,yi(wTxi+b)−1=0,即点在间隔边界上。

c) 如果α=C，说明这是一个可能比较异常的点，需要检查此时ξi

    1)如果0≤ξi≤1,那么点被正确分类，但是却在超平面和自己类别的间隔边界之间

    2)如果ξi=1,那么点在分离超平面上，无法被正确分类。

    3)如果ξi>1,那么点在超平面的另一侧，也就是说，这个点不能被正常分类

实现代码，判断是否否后KKT条件，True符合，False不符合： 

   def _KKT(self, i):
        y_g = self._g(i) * self.Y[i]

        if self.alpha[i] == 0:#a=0:需要yif(xi)-1>=0
            return y_g >= 1
        elif 0 < self.alpha[i] < self.C: #0<a<C:需要在边界上yif(xi)=1
            return y_g == 1
        else:
            return y_g <= 1    #a>=C:异常点,需要0≤ξi≤1满足在区间内yif(xi)<=1

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8 SMO求a

8.1对偶问题上，上面已知对偶形式:

8.2.SMO算法思想

在SMO算法中的思想是，每次选择一对变量(αi,αj)进行优化，其余m-2个固定看作是常量, 因为在SVM中，α并不是完全独立的，而是具有约束的:

因此一个只选一个ai，那么ai可以被其它表示。

假设我们选取的两个需要优化的参数为α1,α2, 剩下的α3,α4,…,αm则固定作为常数处理。将SVM优化问题进行展开就可以得到(把与α1,α2无关的项合并成常数项C):（省略了a3+a4+...+am=C，因为其对max函数无意义）

8.2.1更新方法

因为y1,y2只能是1/-1，因此a1,a2的关系被限制在盒子里的一条线段上（只能是a1-a2/a1+a2两种情况），所以两变量的优化问题实际上仅仅是一个变量的优化问题（一个能由另一个得出）。我们假设是对a2的优化问题,所以只存在2幅图的情况：

1）y1!=y2,则约束a1y1+a2y2=k：a1-a2=k，L，H为约束下a2的最小最大值,为下图

2）y1=y2:

if self.Y[i1] == self.Y[i2]:
      L = max(0, self.alpha[i1] + self.alpha[i2] - self.C)
      H = min(self.C, self.alpha[i1] + self.alpha[i2])
 else:
      L = max(0, self.alpha[i2] - self.alpha[i1])
      H = min(self.C, self.C + self.alpha[i2] - self.alpha[i1])

def _E(self, i):
    return self._f(i) - self.Y[i]

则最优化问题转为更新：

最终更新方式：

剪辑判断： 

   def _compare(self, _alpha, L, H):
        # 剪辑操作
        if _alpha > H:
            return H
        elif _alpha < L:
            return L
        else:
            return _alpha

a1,a2更新： 

 # 边界
            if self.Y[i1] == self.Y[i2]:
                L = max(0, self.alpha[i1] + self.alpha[i2] - self.C)
                H = min(self.C, self.alpha[i1] + self.alpha[i2])
            else:
                L = max(0, self.alpha[i2] - self.alpha[i1])
                H = min(self.C, self.C + self.alpha[i2] - self.alpha[i1])

            E1 = self.E[i1]
            E2 = self.E[i2]
            
            eta = self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) + self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) - 2 * self.kernel(
                self.X[i1], self.X[i2])
            if eta <= 0:
                # print('eta <= 0')
                continue

            alpha2_new_unc = self.alpha[i2] + self.Y[i2] * (E1 - E2) / eta
            alpha2_new = self._compare(alpha2_new_unc, L, H)

            alpha1_new = self.alpha[i1] + self.Y[i1] * self.Y[i2] * (self.alpha[i2] - alpha2_new)
            self.alpha[i1] = alpha1_new
            self.alpha[i2] = alpha2_new

 8.2.2 推导过程

则：

求导：

代入关系式，添加新旧标记方便迭代更新：

得：

得出上面的更新方式。

8.2.3选两点a1,a2的方法

SMO每个子问题选择两个变量优化，其中至少一个变量是违法KKT条件的。

第1个变量a1的选择

SMO称选择第一个变量的过程为外层循环，外层循环选取违反KKT条件最严重的样本点(xi,yi)对应的ai值作为第一个变量a1；检测是否满足KKT条件（7.3有具体介绍）：

一般，外层循环先遍历所有满足0<ai<C的样本点，如果都满足再遍历整个训练集点，检验是否满足KKT条件。

第2个变量a2的选择

SMO算法称选择第二一个变量为内层循环，假设我们在外层循环已经找到了α1, 第二个变量α2的选择标准是让|E1−E2|有足够大的变化。8.2.1定义了E(预测值与真实值之差)。由于α1定了的时候,E1也确定了，所以要想|E1−E2|最大，只需要在E1为正时，选择最小的Ei作为E2，在E1为负时，选择最大的Ei作为E2，可以将所有的Ei保存为列表，加快迭代。

如果内存循环找到的点不能让目标函数有足够的下降，可以采用遍历支持向量点来做α2,直到目标函数有足够的下降， 如果所有的支持向量做α2都不能让目标函数有足够的下降，可以跳出循环，重新选择α1。

    def _init_alpha(self):
        # 外层循环首先遍历所有满足0<a<C的样本点，检验是否满足KKT
        index_list = [i for i in range(self.m) if 0 < self.alpha[i] < self.C]
        # 否则遍历整个训练集
        non_satisfy_list = [i for i in range(self.m) if i not in index_list]
        index_list.extend(non_satisfy_list)

        for i in index_list:
            if self._KKT(i):#满足KKT条件就不做下一步计算
                continue

            E1 = self.E[i]
            # 如果E2是+，选择最小的；如果E2是负的，选择最大的
            if E1 >= 0:
                j = min(range(self.m), key=lambda x: self.E[x])
            else:
                j = max(range(self.m), key=lambda x: self.E[x])
            #   找到一对就返回，没找到再循环
            return i, j

8.2.4b和E计算更新

b1_new= self.b
b2_new= self.b

if 0 < alpha1_new < self.C:
    b1_new = -E1 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) 
* (alpha1_new - self.alpha[i1]) - self.Y[i2] 
* self.kernel(self.X[i2], self.X[i1]) 
* (alpha2_new - self.alpha[i2]) 
+ self.b

if 0 < alpha2_new < self.C:
   b2_new = -E2 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i2]) 
* (alpha1_new - self.alpha[i1]) - self.Y[i2] 
* self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) 
* (alpha2_new - self.alpha[i2]) 
+ self.b

b_new = (b1_new + b2_new) / 2
self.b = b_new

# 更新E
self.E[i1] = self._E(i1)
self.E[i2] = self._E(i2)

8.3算法伪代码

 8.4完整实现：

python版

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split


def create_data():
    iris = load_iris()
    df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
    df['label'] = iris.target
    df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
    data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
    for i in range(len(data)):
        if data[i, -1] == 0:
            data[i, -1] = -1
    # print(data)
    return data[:, :2], data[:, -1]


X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25)


class SVM:
    def __init__(self, max_iter=100, kernel='linear'):
        self.max_iter = max_iter
        self._kernel = kernel

    def init_args(self, features, labels):
        self.m, self.n = features.shape

        self.X = features
        self.Y = labels
        self.b = 0.0

        # 将Ei保存在一个列表里
        self.alpha = np.ones(self.m)
        self.E = [self._E(i) for i in range(self.m)]
        # 松弛变量
        self.C = 1.0

    def _KKT(self, i):
        y_g = self._g(i) * self.Y[i]

        if self.alpha[i] == 0:
            return y_g >= 1
        elif 0 < self.alpha[i] < self.C:
            return y_g == 1
        else:
            return y_g <= 1

    # g(x)预测值，输入xi（X[i]）
    def _g(self, i):
        r = self.b
        for j in range(self.m):
            r += self.alpha[j] * self.Y[j] * self.kernel(self.X[i], self.X[j])
        return r

    # 核函数
    def kernel(self, x1, x2):
        if self._kernel == 'linear':
            return sum([x1[k] * x2[k] for k in range(self.n)])

        elif self._kernel == 'poly':
            return (sum([x1[k] * x2[k] for k in range(self.n)]) + 1) ** 2

        return 0

    # E（x）为g(x)对输入x的预测值和y的差
    def _E(self, i):
        return self._g(i) - self.Y[i]

    def _init_alpha(self):
        # 外层循环首先遍历所有满足0<a<C的样本点，检验是否满足KKT
        index_list = [i for i in range(self.m) if 0 < self.alpha[i] < self.C]
        # 否则遍历整个训练集
        non_satisfy_list = [i for i in range(self.m) if i not in index_list]
        index_list.extend(non_satisfy_list)

        for i in index_list:
            if self._KKT(i):
                continue

            E1 = self.E[i]
            # 如果E2是+，选择最小的；如果E2是负的，选择最大的
            if E1 >= 0:
                j = min(range(self.m), key=lambda x: self.E[x])
            else:
                j = max(range(self.m), key=lambda x: self.E[x])
            #   找到一对就返回，没找到再循环
            return i, j

    def _compare(self, _alpha, L, H):
        # 剪辑操作
        if _alpha > H:
            return H
        elif _alpha < L:
            return L
        else:
            return _alpha

    def fit(self, features, labels):
        # 训练
        self.init_args(features, labels)

        for t in range(self.max_iter):
            # train
            i1, i2 = self._init_alpha()
            # 边界
            if self.Y[i1] == self.Y[i2]:
                L = max(0, self.alpha[i1] + self.alpha[i2] - self.C)
                H = min(self.C, self.alpha[i1] + self.alpha[i2])
            else:
                L = max(0, self.alpha[i2] - self.alpha[i1])
                H = min(self.C, self.C + self.alpha[i2] - self.alpha[i1])

            E1 = self.E[i1]
            E2 = self.E[i2]

            eta = self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) + self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) - 2 * self.kernel(
                self.X[i1], self.X[i2])
            if eta <= 0:
                # print('eta <= 0')
                continue

            alpha2_new_unc = self.alpha[i2] + self.Y[i2] * (E1 - E2) / eta
            alpha2_new = self._compare(alpha2_new_unc, L, H)

            alpha1_new = self.alpha[i1] + self.Y[i1] * self.Y[i2] * (self.alpha[i2] - alpha2_new)
            self.alpha[i1] = alpha1_new
            self.alpha[i2] = alpha2_new

            b1_new= self.b
            b2_new= self.b
            if 0 < alpha1_new < self.C:
                b1_new = -E1 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) * (alpha1_new - self.alpha[i1]) - self.Y[
                    i2] * self.kernel(self.X[i2], self.X[i1]) * (alpha2_new - self.alpha[i2]) + self.b
            if 0 < alpha2_new < self.C:
                b2_new = -E2 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i2]) * (alpha1_new - self.alpha[i1]) - self.Y[
                    i2] * self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) * (alpha2_new - self.alpha[i2]) + self.b

            b_new = (b1_new + b2_new) / 2
            self.b = b_new
            # 更新E
            self.E[i1] = self._E(i1)
            self.E[i2] = self._E(i2)
        return 'train done!'

    def predict(self, data):
        r = self.b
        for i in range(self.m):
            r += self.alpha[i] * self.Y[i] * self.kernel(data, self.X[i])
        return 1 if r > 0 else -1

    def predicts(self, datas):
        pred = np.array([])
        for i in range(len(datas)):
            pred = np.append(pred, self.predict(datas[i]))
        return pred

    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        for i in range(len(X_test)):
            result = self.predict(X_test[i])
            if result == y_test[i]:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)



svm = SVM(max_iter=500)
svm.fit(X_train, y_train)
print(svm.score(X_test, y_test))

---

9 SVR支持向量回归

构建一个宽度为2ε的间隔带，若训练样本落入此间隔带，则认为是被预测正确的。图像：

和SVM类似的，因此SVR问题可转化为：

其中L是误差计算函数，对小于epsilon的误差为0：

同样是数字，引入松弛变量替代，（间隔带两侧的松弛程度可有所不同），则变成：

约束（即预测值与真实的差<=epsilon+松弛变量）：

引入拉格朗日乘子，可得拉格朗日函数：

存在不等式约束，所以上式还有KKT条件等约束。同样的求导，然后对偶。

求导：

把上边的式子带入，即可求得SVR的对偶问题：                                                                                                                                        

KKT条件：

如果求出a的话最后，可得SVR的模型：

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10 sklearn实现SVC（支持向量分类）,SVR（支持向量回归）： 

 scikit-learn SVM算法库封装了libsvm 和 liblinear 的实现，仅仅重写了算法了接口部分。分为两类，分类：SVC， NuSVC，和LinearSVC。回归：SVR， NuSVR，和LinearSVR 。相关的类都包裹在sklearn.svm模块中。sklearn官方svm API：https://scikit-learn.org/stable/modules/classes.html#module-sklearn.svm。

1）分类classification

SVC， NuSVC，和LinearSVC。SVC， NuSVC类似，区间是NuSVC多了nu参数：

nu

LinearSVC 和SVC没有这个参数，LinearSVC 和SVC使用惩罚系数C来控制惩罚力度。

nu代表训练集训练的错误率的上限，或者说支持向量的百分比下限，取值范围为(0,1],默认是0.5.它和惩罚系数C类似，都可以控制惩罚的力度。

因此nu没有惩罚系数C，因为它会自己选：

惩罚系数C

即为我们第二节中SVM分类模型原型形式和对偶形式中的惩罚系数C，默认为1，一般需要通过交叉验证来选择一个合适的C。一般来说，如果噪音点较多时，C需要小一些。

NuSVC没有这个参数, 它通过另一个参数nu来控制训练集训练的错误率，等价于选择了一个C，让训练集训练后满足一个确定的错误率

LinearSVC从名字就可以看出，是线性分类，也就是不支持各种低维到高维的核函数，仅仅支持线性核函数，对线性不可分的数据不能使用。

2）回归Regression

SVR， NuSVR，和LinearSVR。SVR， NuSVR差不多，区别仅仅在于对损失的度量方式不同，NuSVR有nu参数：

nu

LinearSVR 和SVR没有这个参数，用ϵ控制错误率

nu代表训练集训练的错误率的上限，或者说支持向量的百分比下限，取值范围为(0,1],默认是0.5.通过选择不同的错误率可以得到不同的距离误差ϵ。也就是说这里的nu的使用和LinearSVR 和SVR的ϵ参数等价。

1）一般推荐在做训练之前对数据进行归一化，当然测试集中的数据也需要归一化。。

2）在特征数非常多的情况下，或者样本数远小于特征数的时候，使用线性核，效果已经很好，并且只需要选择惩罚系数C即可。

3）在选择核函数时，如果线性拟合不好，一般推荐使用默认的高斯核'rbf'。这时我们主要需要对惩罚系数C和核函数参数γγ进行艰苦的调参，通过多轮的交叉验证选择合适的惩罚系数C和核函数参数γγ。

4）理论上高斯核不会比线性核差，但是这个理论却建立在要花费更多的时间来调参上。所以实际上能用线性核解决问题我们尽量使用线性核。

这个有个不错的中文表格介绍参数：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6117515.html

使用方法具体看官方例子：

LinearSVC：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.svm.LinearSVC.html#sklearn.svm.LinearSVC

LinearSVR ：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.svm.LinearSVR.html#sklearn.svm.LinearSVR

NuSVC：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.svm.NuSVC.html#sklearn.svm.NuSVC

NuSVR：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.svm.NuSVR.html#sklearn.svm.NuSVR

SVC：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.svm.SVC.html#sklearn.svm.SVC

SVR:https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.svm.SVR.html#sklearn.svm.SVR

附一个SVC的实现：

from sklearn.svm import SVC
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
import matplotlib.pyplot as plt



def create_data():
    iris = load_iris()
    df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
    df['label'] = iris.target
    df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
    data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
    for i in range(len(data)):
        if data[i, -1] == 0:
            data[i, -1] = -1
    # print(data)
    return data[:, :2], data[:, -1]


X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25)

clf = SVC()
clf.fit(X_train, y_train)
print('分数:', clf.score(X_test, y_test))

#分数: 0.96

可视化：https://blog.csdn.net/jiang425776024/article/details/87857059