复数学习笔记1

复数有毒。。。(不过貌似数学得学)

定义

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z₁=(a,b),z₂=(c,d))：

z₁ + z₂=(a+c,b+d)

z₁ × z₂=(ac-bd,bc+ad)

容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)

令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

记(0,1)=i,则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

 

概念

形如  的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且   （a，b是任意实数）

我们将复数   中的实数a称为复数z的实部，记作Rez=a，实数b称为复数z的虚部，记作 Imz=b。

当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

复数的模

对于复数

  ，它的模

 

运算法则

加法法则

 

几何意义：坐标为a,b代表a+bi，相加相当于与原点相连的矢量相加，平行四边形定则

乘法法则

 

几何意义：模长相乘

除法法则

复数除法定义：满足  的复数  叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，

即

 

开方法则

若zⁿ=r(cosθ+isinθ），则

 

（k=0，1，2，3…n-1）

运算律

加法交换律：z₁+z₂=z₂+z₁

乘法交换律：z₁×z₂=z₂×z₁

加法结合律：(z₁+z₂)+z₃=z1+(z₂+z₃)

乘法结合律：(z₁×z₂)×z₃=z₁×(z₂×z₃)

分配律：z₁×(z₂+z₃)=z₁×z₂+z₁×z₃

i的乘方法则

i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=-1, i⁴ⁿ⁺³=-i, i⁴ⁿ=1（其中n∈Z）

之后循环。。。

 

分类

复数分为实数和虚数两大类.
实数又分为有理数和无理数两大类.
有理数可分为整数和分数两大类,
整数可分为正整数,负整数,0.
分数可分为正分数,负分数.

 

令$Large{omega_n^m}$为第m个n次根，也就是$omega_n$的m次方，在单位圆上平分n份，此为第m个