• 洛谷p1122 Tree DP


    题意:给定一颗无根树,每个点有一个点权,可以有负数。求一个联通块,使得这个联通块内的点权之和最大。

    分析:我们看到这道题,第一反应是贪心。把每个点当做根跑一次贪心,在根的子树中,如果一个子树的权值和大于0,就把子树的权值加上,否则就剪去这个子树。这样从根节点一层一层递归下来,先处理点的子树,再处理点本身,我们就得到了以某个节点为根的最大权值和。每个点都跑一次,取一个最大值,就得到了答案。这样做一定是对的,但是复杂度O(n^2),加一个记忆化搜索能过。

      但今天要讲的是Tree DP的思路。随便选一个点作为根,记f[i]为以i为根的子树的最大权值和,跑一次树上的DP就行。虽然有递归,但每个点只会经过一次,复杂度O(n)。

    至于为什么以任意一个点作为根都行,请看下面的分析:


    假设我们以节点1为根算出了一个最大联通块和,此时的联通块中一定包含节点1的权值。如果以2为根算最大权值,那分为两种情况:如果没有节点2这一部分,f[1]都大于0的话,那么节点2做DP时一定会把1那部分加上,结果就等效为从节点1做DP。如果没有节点2这一部分,f[1]小于0的话,说明节点1的权值小于0,那么2肯定不会选1这部分,程序中很重要的一句ans=max(ans,f[u]);就发挥了作用,它记录了以2为根的子树的答案,相当于以2为根不选1那部分的答案,还是等效的。所以,以2为根的话,无论哪种情况,都是和以1为根的情况是等效的,其他点同理。所以,我们只要任选一个点为根就可以了。

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,ans,ecnt;
    int a[16005];
    bool vis[16005];
    int head[16005];
    int f[16005];
    struct aaa
    {
        int to,nxt;
    }bian[32100];
    inline int read()
    {
        int x=0;bool f=0;char c=getchar();
        while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
        while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';c=getchar();}
        return f?-x:x;
    }
    inline void add(int a,int b)
    {
        bian[++ecnt].to=b;
        bian[ecnt].nxt=head[a];
        head[a]=ecnt;
    }
    void dfs(int u)
    {
        vis[u]=1;f[u]=a[u];
        for(int i=head[u];i;i=bian[i].nxt)
        {
            int v=bian[i].to;
            if(!vis[v])
            {
                dfs(v);
                f[u]+=max(0,f[v]);
            }
        }
        ans=max(ans,f[u]);
    }
    int main()
    {
        n=read();
        int aa,bb;
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
        for(int i=1;i<=n-1;i++)
        {
            aa=read();bb=read();
            add(aa,bb);add(bb,aa);
        }
        dfs(1);
        cout<<ans;
        return 0;
    }
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