帝都Day3——各种dp

备注：Day1 Day2记得笔记太233，所以就不发了

备注2：Day4~Day7发不发看心情qaq

（7.17持续更新中...）

动态规划A 记忆化搜索 & 动态规划初步

8点15： 杨姓dalao唠叨了几句；8点20：上课正式开始

part1 记忆化搜索

数字金字塔：luogu 1216

一、搜索(dfs)

没一个点向左或向右走

void dfs(int x,int y,int val)
{
    val+=a[x][y];
    if(x==n-1)
    {
        if(val>ans)ans=val;
        return;
    }
    dfs(x+1,y,val);
    dfs(x+1,y+1,val);
}

二、记忆化搜索：

冗余搜索：无用的，不会改变答案的搜索。

我们在search过程中可能会n次都走到某一个点，其中n-1次搜索即使继续搜索下去，答案也不会改变。

那么，怎么优化程序？对于每一个位置都记录一个值，代表搜到此位置时，最大路径和时多少

void dfs(int x, int y, int val)
{
    val += a[x][y];
    if(val <= f[x][y]) return;
    f[x][y] = val;
    if(x == n-1)
    {
        if(val > ans) ans = val;
        return;
    }
    dfs(x+1, y, val);
    dfs(x+1, y+1, val);
}

 背包问题：luogu 1048

一、搜索：

状态(x,w,v)——搜到第x件物品，物品总质量w，总价格v

行动——我要不要

约束——物品总质量不超过最大值

目标——物品总价值最大

冗余：(x1,w1,v1)和(x2,w2,v2)时，x1=x2,w1=w2,v1<v2，那么前者冗余

二、记忆化搜索

void dfs(int t,int x,int val)
{
    if(val<=f[t][x])return;
    f[t][x]=val;
    if(x==n)
    {
        if(val>ans)ans=val;
        return;
    } 
    dfs(t,x+1,val);
    if(t>=w[x])dfs(t-w[x],x+1,val+v[x]);
}

 其实，就是对于冗余的情况不再搜索......(这让我想起了滑雪)

part2.动态规划

在最优路径上走，每走一步都是最大值。

最优性：设走到某一个位置的时候，它达到了路径的最大值，

dp：只记录状态的最优值，并用最优值来推导其他的最优值。

记录f[i][j]路径最大值，有两种方法推导：

顺推；逆推。

数字金字塔：luogu 1216

顺推：f[i][j]->f[i+1][j]、f[i+1][j+1];

逆推：f[i-1][j];f[i-1][j-1]->f[i][j];

    //顺推
    f[0][0]=a[0][0];
    for(int i=0;i<n-1;++i)
        for(int j=0;j<=i;++j)
        {
            f[i+1][j]=max(f[i+1][j],f[i][j]+a[i+1][j]);
            f[i+1][j+1]=max(f[i+1][j+1],f[i][j]+a[i+1][j+1]);
        }
    //逆推
    f[0][0]=a[0][0];
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        f[i][0]=f[i-1][0]+a[i][0];
        f[i][i]=f[i-1][i-1]+a[i][i];
        for(int j=1;j<i;++j)
            f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j];
    }
    ans=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
        ans=max(ans,f[n-1][i]);

状态转移方程

顺推：{fangcheng}

逆推：{fangcheng}

逆推改变搜索顺序

    for(int i=0;i<n;++i)
        f[n-1][i]=a[n-1][i];
    for(int i=n-2;i>=0;--i)
        for(int j=0;j<=i;++j)
            f[i][j]=max(f[i+1][j+1],f[i+1][j])+a[i][j];
    ans=f[0][0];

 这种做法不需要判断边界了

顺推、逆推依个人喜好而定(反正我喜欢逆推？？？？？？)

转移顺序：最优值之间的推导顺序

能使用dp做的题：有明确的推导顺序。数字金字塔里就有——自上而下。

能分成不同的阶段，阶段逐步进行。和搜索顺序是类似的

划分好阶段，前往后、后往前推都ok

 用一维数组写背包问题

背包 记录f[i][j]：决定前i件物品，在总重量j情况下，物品总价值最大值

状态转移方程：状态之间的推导公式

顺推：我这一个状态，下一步去哪里？

逆推：从什么状态可以到达我这里？

背包 顺推

   for(int i=0;i<n;++i)
      for(int j=0;j<=t;++j)
         {
            f[i+1][j]=max(f[i+1][j],f[i][j]);
            if(j+w[i]<=t)
            f[i+1][j+w[i]]=max(f[i+1][j+w[i]],f[i][j]+v[i]);
         }
   ans=0;
   for(int i=0;i<=t;++i)ans=max(ans,f[n][i]);

 背包 逆推

    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=0;j<=t;++j)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    ans=0;
    for(int i=0;i<=t;++i)ans=max(ans,f[n][i]);

数组压缩：

用一个一维数组代替二维数组

f[i]只由f[i-1]决定，其它的就没用了(优化空间复杂度)

只能倒着枚举了

代码实现

    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=t;j>=0;--j)
        {
            //不取：对数组没有影响
            //f[i][j]=f[i-1][j];
            //取
            //if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            if(j>=w[i])f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }

不建议写一维数组，因为有害，空间不够写滚动数组

9点25 课间休息......

9点40 继续上课......

完全背包

poj 1384 http://poj.org/problem?id=1384

完全背包的数组压缩比较简单了for(i=1 to n) for(j=0 to m) if(j>=w[i])f[j]=min(f[j],f[j-w[i]]+p[i];

顺着枚举是完全背包，逆着01

多重背包不要用一维！能用二维干嘛要用一维。。。

背包计数问题：luogu1466 集合

把数字i看成质量i的物品，求出装满重M背包的方案数(然后除以2)

顺推

f[1][0]=1;

for(int i=1;i<=n;i++)

　　for(int j=0;j<=m;++j)

　　{

　　　　f[i+1][j]+=f[i][j];

　　　　if(i+1<m)f[i+1][i+j]+=f[i][j];

　　}

逆推

f[0][0]=1;

for(i=1 to n)

　　for(j=0 to m)

　　　{

　　　　　f[i][j]=f[i-1][j];　

　　　　　if(j>=i)f[i][j]+=f[i-1][j-1];

　　　　}

数组压缩

g[0]=1;

for(i=1 to n)

　　for(j=m to i)

　　　　g[j] += g[j-i];

luogu 货币系统

 10点20下课

10点30上课

多重背包：物品有数量限制

01：只有一件

完全：无数量限制

完全背包

多件物品：拆解成1件物品组成的物品+两件+四件......，单独出售，变成01背包

为什么怎么做呢？因为二进制的神奇功效

【下午做题】

一、洛谷P1004 方格取数

二、导弹拦截

三、合唱队形

四、LCS(LCS转为LIS，用nlog₂n解决)

五、LCS洛谷有关例题

待更