leetcode--Longest Palindromic Substring

1.题目描述

Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

2.解法分析

拿到题目的一瞬间，我就想到了两个办法，但都看起来不是那么好的方法，方法一是求出输入串和输入串逆置串（就是将输入串逆序）的最长公共字串，这个算法很容易实现，但是时间复杂度过高,还有一种就是后缀数组的方法，求出最长后缀即可，但是这种方法比较麻烦。做了这么长时间的leetcode，我的经验告诉我这个题目应该会有更加精妙的解法，希望能理解。

果不其然，网上是有另外一种算法的，这个算法深入挖掘了回文的性质，针对这个题目，最简单的算法莫过于遍历字符串的每一位，然后以每一位为中心，两边扩展来求最长的回文子串，这样做的时间复杂度当然是O(N²),那么在遍历的过程中，有没有方法利用之前得到的结果呢？

答案是有的！网上传有一种Manacher算法--O（n）回文子串算法，其他的解法都是这种，只不过每个人都讲得比较混乱，唯有这个虽然也混乱，但是图画得比较清晰，我就借用了这篇文章的图了。

请看下图：

假设用一个数组p（长度为字符串长度，注意，在处理之前，为了使字符串长度的奇偶不影响处理过程，进行了插入“#”的预处理操作，一会看代码就明白了为什么这么处理了），p[i]表示以s[i]为中心的最长回文子串，在计算p[i]之时我们已知了p[0]….p[i-1]，以及当前所有计算出来的最长回文子串所能延伸到的最右位置mx以及其对应的回文中心id（在代码里，我将它称为center),那么，i关于id的对称位置j=2*id-i, 且如果mx>i，必然有p[i]至少等于min(p[j],mx-i)，如果mx<=i,那只有老老实实从p[i]=1计算了，这个大大减少了计算量。

如果mx>i，那么mx之外的字符是没有经过比较的，所以p[i]应该不比mx-i大，为啥？分析如下，如果p[j]<mx-i,说明整个以j为中心的回文子串都在以id为中心的回文子串之内。那么直接取p[j]作为p[i]的值肯定没错，反之，说明，p[j]有一部分伸出，这部分得减掉。

代码如下：

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        string s2;
        s2.push_back('#');
        for(int i=0;i<s.length();++i)
        {
            s2.push_back(s[i]);
            s2.push_back('#');
        }

        vector<int> p;
        p.assign(s2.length(),0);

        int mx=0;
        int center=0;

        int max=1;int loc=0;

        for(int i=0;i<s2.length();i++)
        {
            if(mx>i)
            {
                p[i]=min(p[2*center-i],mx-i);
            }
            else p[i]=1;

            while((i-p[i])>=0&&(i+p[i])<s2.length())
            {
                if(s2[i-p[i]]==s2[i+p[i]])p[i]+=1;
                else break;
            }

            if((i+p[i]-1)>mx)
            {
                mx=i+p[i]-1;center=i;
            }

            if(p[i]>max)
            {
                max=p[i];
                loc=i;
            }
        }

        string result;
        for(int i=loc-max+1;i<=loc+max-1;++i)
        {
            if(s2[i]!='#')result.push_back(s2[i]);
        }

        return result;


    }
};