面试收集卡特兰数（Catalan数)应用

引言：有高矮不同的12个人，现在要他们对应排成两列，保证两列分别有序，且对应位置总是第一列比第二列矮，请问有多少种排列方式？

这是蘑菇街笔试的时候一个题目，当时陷入了枚举分类的死循环中，殊不知如果知道Catalan数的概念，直接就计算出来了。catalan组合数学上的递归式定义如下，这个递归定义是欧拉在研究下面问题5时得出的一个式子，是Catalan数起源的一种说法。

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=C(2n,n)-C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)

注：在参考四中另有一种定义h(n)=h(1)*h(n-1)+h(2)*h(n-2)+…h(n-1)*h(1)=C(2n-2,n-1)-C(2n-2,n)=C(2n-2,n-1)/n，这只是个如何确定n的问题，对分析题意影响不大,下面的分析基于第一种定义。

由上面的定义可知，有两种情况是Catalan数来算，一种是用组合的形式给出结论的，即最后能算出C(2n,n)-C(2n,n+1),如下面列举的例子1,2,3,8，其实其它几个例子也能转化成这种形式，但是不直观，其它几个例子直观上会有h(1)*h(n-1)+h(2)*h(n-2)+…h(n-1)*h(1）的形式。

附录参考2中有一个对某些例子而言很清晰的解释。

Catalan数有在很多场景会见到，常见的有：

1. 直角等边三角形网络（直角边长为n）的路径问题（见参考1）—h(n-1)

思路：在2（n-1)个位置中找出哪（n-1）步朝上（C(2n-2,n-1）)，并删除超过对角线的情况C(2n-2,n),即h(n-1)=C(2n-2,n-1)-C(2n-2,n)

2.出栈入栈问题（见参考1），栈无穷大，n个数？—h(n)

思路：选定n个位置入栈，n个位置出栈，C(2n,n)，去除出栈入栈顺序不对的C(2n,n+1)，因此为h(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)

3.2n个人买票找零问题（售票处无零钱，观影者一半手持5块，一半手持10块，票价5块）—h(n)

思路同2.

4.n矩阵相乘的括号问题h(n-1)

思路: 分析有如下形式

   

 

这是catalan数的形式,f(1)=1,f(2)=1,故f(n)=h(n-1)

5.凸n边形分割成多少个三角形（见参考4）—h(n-1)

思路，具体思路见参考4，分析同4.

6.n个可以构造出多少种不同的二叉树—h(n)

思路，选定一个数作为根节点，因此有:

,

这也是catalan数的特征，f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,因此有f(n)=h(n)

7.在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？--h(n-1)

思路：如图，由于不相交，分割的时候若A₁和A_2k有连线，那么左侧有2(k-1)个点，右侧有2（n-k),所以：

 

f(2)=1,f(4)=1,故f(2n)=h(n-1)

8.有高矮不同的12个人，现在要他们对应排成两列，保证两列分别有序，且对应位置总是第一列比第二列矮，请问有多少种排列方式？

此题在参考1中描述得非常准确

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参考1：http://blog.csdn.net/suyksuyk/article/details/4697941

参考2：http://blog.sina.com.cn/s/blog_66f4dd01010129a7.html

参考3：http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858?reload

参考4：http://blog.csdn.net/muye5/article/details/7984061

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