平方根倒数速算法
平方根倒数速算法(Fast inverse square root)，经常和一个十六进制的常量 0x5f3759df联系起来。该算法大概由上个世纪90年代的硅图公司开发出来，后来出现在John Carmark的Quake III Arena的源码中。
源码：
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
return y;
}
准备工作
IEEE浮点数标准
IEEE浮点标准采用
[V=(-1)^{s}×M×2^{E}
]
的形式表示一个浮点数,s是符号位,M是尾数,E是阶码.
以32位float为例子:
对于规范化值,有:
[E=Exp-Bias\
Bias=2^{k-1}-1\
M=1+f\
f in [0,1)
]
那么对于一个浮点数x,将其各段的值按整数解释,则有(此处默认s=0):
[I=Exp×2^{23}+f×2^{23}
]
记:
[L=2^{23} \F=f×2^{23}
]
则有:
[I=Exp×L+F
]
倒数平方根快速算法
对于函数:
[y=frac{1}{sqrt x}
]
两边取对数,并带入浮点数表示:
[log ((1+f_{y})*2^{E_y})=-frac{1}{2}log((1+f_{x})*2^{E_x})\
Longrightarrow log(1+f_{y})+E_y=-frac{1}{2}[log(1+f_{x})+E_x]
]
注意到f的范围,近似处理有:
[log(1+f)=sigma +f\
sigmaapprox 0.0430357
]
代入化简:
[f_y+sigma+E_y=-frac{1}{2}[f_x+sigma+E_x]\
Longrightarrow frac{F_y}{L}+sigma+Exp_y-Bias=-frac{1}{2}[frac{F_x}{L}+sigma +Exp_x-Bias]\
Longrightarrow frac{3}{2}L(sigma-Bias)+F_y+L*Exp_y=-frac{1}{2}(F_x+L*Exp_x)
]
记:
[Bias=B\
zeta =frac{3}{2}L(B-sigma)={
m 0x5f3759df}\
]
则有:
[I_y=zeta -frac{1}{2}I_x
]
最后将其按浮点数编码即可.
牛顿迭代法
利用如下的迭代式可以得到很精确的解:
[x_{n+1}=x_{n}-frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
]
对于上述的计算,引入函数
[f(y)=frac{1}{y^2}-x_0
]
计算有:
[y_{n+1}=y_n(frac{3}{2}-frac{1}{2}x_0*y_n^2)
]
Java版本与64位版本
public static float fastFloatInverseSqrt(float x) {
float xHalf = 0.5f * x;
int reEncode = Float.floatToIntBits(x);
reEncode = 0x5f3759df - (reEncode >> 1);
x = Float.intBitsToFloat(reEncode);
x *= (1.5f - xHalf * x * x);
return x;
}
public static double fastDoubleInverseSqrt(double x) {
double xHalf = 0.5d * x;
long reEncode = Double.doubleToLongBits(x);
reEncode = 0x5fe6ec85e7de30daL - (reEncode >> 1);
x = Double.longBitsToDouble(reEncode);
x *= (1.5d - xHalf * x * x);
return x;
}
double fastDoubleInverseSqrt(double x){
double xhalf=0.5 * x;
long reEncode=*((long*)&x);
reEncode=0x5fe6ec85e7de30da-(reEncode>>1);
x=*((double*)&reEncode);
x*=(1.5f-xhalf*x*x);
return x;
}
Magic Number: 0x0x5f3759df与0x5fe6ec85e7de30da