高斯核 卷积

https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52304446

原文：https://blog.csdn.net/weixin_39124778/article/details/78411314

 

计算

 

1）一维卷积：

y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)

先把函数x(k)相对于原点反折，然后向右移动距离t，然后两个函数相乘再积分，就得到了在t处的输出。对每个t值重复上述过程，就得到了输出曲线。   

2）二维卷积：

h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)

先将g(u,v)绕其原点旋转180度，然后平移其原点，u轴上像上平移x，   v轴上像上平移y。然后两个函数相乘积分，得到一个点处的输出。

 

应用

 

图像处理：用一个模板和一幅图像进行卷积，对于图像上的一个点，让模板的原点和该点重合，然后模板上的点和图像上对应的点相乘，然后各点的积相加，就得到了该点的卷积值。对图像上的每个点都这样处理。由于大多数模板都是对称的，所以模板不旋转。卷积是一种积分运算，用来求两个曲线重叠区域面积。可以看作加权求和，可以用来消除噪声、特征增强。

把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。

卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。

卷积在数据处理中用来平滑，卷积有平滑效应和展宽效应.

 

电路学：卷积法的原理是根据线性定常电路的性质(齐次性、叠加性、时不变性、积分性等),借助电路的单位冲激响应h(t),求解系统响应的工具，系统的激励一般都可以表示为冲击函数和激励的函数的卷积，而卷积为高等数学中的积分概念。概念中冲击函数的幅度是由每个矩形微元的面积决定的。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

 

信号处理：

1）卷积实质上是对信号进行滤波；

2）卷积就是用冲击函数表示激励函数，然后根据冲击响应求解系统的零状态响应。

卷积是求和（积分）。对于线性时不变的系统，输入可以分解成很多强度不同的冲激的和的形式（对于时域就是积分），那么输出也就是这些冲激分别作用到系统产生的响应的和（或者积分）。所以卷积的物理意义就是表达了时域中输入，系统冲激响应，以及输出之间的关系。

 

信号角度：卷积代表了线性系统对输入信号的响应方式,其输出就等于系统冲击函数和信号输入的卷积,只有符合叠加原理的系统,才有系统冲击函数的概念,从而卷积成为系统对输入在数学上运算的必然形式,冲击函数实际上是该问题的格林函数解。点激励源作为强加激励,求解某个线性问题的解,得到的格林函数即是系统冲击响应.所以在线性系统中,系统冲击响应与卷积存在着必然的联系。

 

数学：来说卷积就是定义两个函数的一种乘法，或者是一种反映两个序列或函数之间的运算方法。对离散序列来说就是两个多项式的乘法。物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。

物理：卷积可代表某种系统对某个物理量或输入的调制或污染。

 

例子：

1. 图像处理

卷积可以帮助实现平滑算法。

有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：

比如我要平滑   点，就在矩阵中，取出  点附近的点组成矩阵  ，和  进行卷积计算后，再填回去

 

 

用一个动图来说明下计算过程：

 

写成卷积公式就是：

 

要求  ，一样可以套用上面的卷积公式。

这样相当于实现了  这个矩阵在原来图像上的划动

在图像平滑处理时，函数g通常取高斯核函数

 

高斯核

二维高斯分布：

 

在图形上，正态分布是一种钟形曲线，越接近中心，取值越大，越远离中心，取值越小。
计算平均值的时候，我们只需要将"中心点"作为原点，其他点按照其在正态曲线上的位置，分配权重，就可以得到一个加权平均值。例如：通常，图像处理软件会提供"模糊"（blur）滤镜，使图片产生模糊的效果。

 

高斯模糊的原理

所谓"模糊"，可以理解成每一个像素都取周边像素的加权平均值。

以高斯分布取g矩阵的值得到的模糊方法即为高斯模糊

权重矩阵

假定中心点的坐标是（0,0），那么距离它最近的8个点的坐标如下：

 

 

更远的点以此类推。

为了计算权重矩阵，需要设定σ的值。假定σ=1.5，则模糊半径为1的权重矩阵如下：

这9个点的权重总和等于0.4787147，如果只计算这9个点的加权平均，还必须让它们的权重之和等于1，因此上面9个值还要分别除以0.4787147，得到最终的权重矩阵。

 

计算高斯模糊

有了权重矩阵，就可以计算高斯模糊的值了。

假设现有9个像素点，灰度值（0-255）如下：

 

 

 

 

每个点乘以自己的权重值（高斯核函数关于中心对称，所以直接对应相乘与旋转180°相乘效果一样）：

 

 

 

 

 

得到

 

 

 

 

将这9个值加起来，就是中心点的高斯模糊的值。

对所有点重复这个过程，就得到了高斯模糊后的图像。如果原图是彩色图片，可以对RGB三个通道分别做高斯模糊。

 

参考：http://www.cnblogs.com/herenzhiming/articles/5276106.html