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最长递增子序列(LIS),先来看看定义,在一个序列{a1,a2,a3,,,,,,,,an}中,取出{ai1,ai2,ai3,,,,aim};其中i1,i2,i3,,,,保持递增的特点,同时ai1,ai2,ai3,,,,也保持递增的特点,那么称后面的序列为原序列的递增子序列,那么,在子序列中元素的个数就是子序列的长度,这个长度是可以求出来的;现在来看一种求法,设dp[]数组,dp[i]保存以第i个元素结尾的递增子序列长度,那么有dp[1] = 1,(假设序列下标从1开始)那么dp[i]最小也是1,本身嘛,显然有公式
dp[1]=1;
dp[i] = max(dp[j]+1,1)其中1<=j<i;且aj<ai;
同理,有递减子序列长度,使得aj>ai就是,下面利用这一思想来看一道题
题目描述: 某国为了防御敌国的导弹袭击,开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭,并观测到导弹依次飞来的高度,请计算这套系统最多能拦截多少导弹。拦截来袭导弹时,必须按来袭导弹袭击的时间顺序,不允许先拦截后面的导弹,再拦截前面的导弹。 输入: 每组输入有两行, 第一行,输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量k(k<=25), 第二行,输入k个正整数,表示k枚导弹的高度,按来袭导弹的袭击时间顺序给出,以空格分隔。 输出: 每组输出只有一行,包含一个整数,表示最多能拦截多少枚导弹。 样例输入: 8 300 207 155 300 299 170 158 65 样例输出: 6
这就是典型的递减子序列长度求解问题,要求后面的高度不大于(可以等于)之前的高度;
代码:
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 //最长递增子序列 4 int max(int x,int y){return x>y?x:y;}//求x和y之间的较大值 5 int list[26]; 6 int dp[26];//dp[i]中保存以第i个导弹结尾的最长不增子序列长度 7 8 void test_1(){ 9 int n; 10 while (scanf("%d",&n)!=EOF) { 11 for (int i = 1; i<=n; i++) {//输入n枚导弹的高度 12 scanf("%d",list+i); 13 } 14 for (int i = 1; i<=n; i++) { 15 int tmax = 1;//最大值初始为1,以i结束最小也有一个,本身,故初始为1 16 for(int j = 1;j<i;j++){ 17 if (list[j]>=list[i]) {//这里是需要等号的,因为题目只要求后继的不高于之前的 18 tmax = max(tmax, *(dp+j)+1); 19 } 20 } 21 dp[i] = tmax; 22 } 23 int ans = 1; 24 for (int i = 1; i<=n; i++) { 25 ans = max(ans, dp[i]); 26 } 27 printf("%d ",ans); 28 } 29 } 30 int main() { 31 test_1(); 32 return 0; 33 } 34 35 /************************************************************** 36 Problem: 1112 37 User: Numen_fan 38 Language: C++ 39 Result: Accepted 40 Time:0 ms 41 Memory:1020 kb 42 ****************************************************************/
注:可以测试多组数据