算法导论63习题解答(Young氏矩阵)

CLRS 6-3 ：Young氏矩阵( 杨氏矩阵) 
解答:
(a)2         4       9       12
    3         5       14      Max
    8       16      Max    Max
    Max   Max    Max    Max
(b)Y[1, 1]为Max的话，那么按照Young氏矩阵定义，矩阵中其他数值必然大于等于它，所以Y为空。
    若Y[m, n] < Max的话，由其他元素都小于等于Y[m, n]可知此矩阵是满的。
(c)算法思想：
    1)A[0][0]必然是最小值，将其取出，然后将矩阵的最后一个元素A[m-1[n-1]补到第一位来，并将A[m-1[n-1]设置为Max
    2)将A[0][0]与A[0][1]和A[1][0]二者之间的最小值进行交换，
    3)若交换的是A[0][1]，则在下一步对m*(n-1)矩阵的第一个元素重复2，
       若交换的是A[1][0]，则在下一步对（m-1）*n矩阵的第一个元素重复2
    总之每次总是将第一个元素与其周边元素进行比较而已。
   

#include <iostream>
using namespace std;
//假设MAX为无穷大
#define MAX 1000000
int extract_min(int** a, int m, int n);
void young_matrixify(int** a, int i, int j, int m, int n);
int main()
{
    int a[4][4] = {2, 4, 9, 12, 3, 5, 14, MAX, 8, 16, MAX, MAX, MAX, MAX, MAX, MAX};
    //打印数组a,可以看出它符合young氏矩阵的定义
for(int i =0; i <4; i++)
    {
        for(int j =0; j <4; j++)
            cout<<a[i][j]<<"\t";
        cout<<endl;
    }
    
    int** b =new int*[4];
    for(int i =0; i <4; i++)
        b[i] =new int[4];
    for(int i =0; i <4; i++)
    {
        for(int j =0; j <4; j++)
            b[i][j] = a[i][j];
    }
    //第一次取出最小值
    extract_min(b, 4, 4);
    //打印取出最小值之后的young氏矩阵
for(int i =0; i <4; i++)
    {
        for(int j =0; j <4; j++)
            cout<<b[i][j]<<"\t";
        cout<<endl;
    }
    //再次取出最小值
    extract_min(b, 4, 4);
    //打印取出最小值之后的young氏矩阵
for(int i =0; i <4; i++)
    {
        for(int j =0; j <4; j++)
            cout<<b[i][j]<<"\t";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}
int extract_min(int** a, int m, int n)
{
    int temp = a[0][0];
    a[0][0] = a[m-1][n-1];
    a[m-1][n-1] = MAX;
    young_matrixify(a, 0, 0, m, n);
    return temp;
}
//分了四种情况进行讨论，以i,j是否到达边界为区分点
void young_matrixify(int** a, int i, int j, int m, int n)
{
    if(i < m && j < n)
    {
        int ii = i;
        int jj = j;
        if(i+1< m && j+1< n && a[i+1][j] > a[i][j+1])
        {
            int temp = a[i][j];
            a[i][j] = a[i][j+1];
            a[i][j+1] = temp;
            jj = j +1;
        }
        else if(i+1< m && j+1< n && a[i+1][j] < a[i][j+1])
        {
            int temp = a[i][j];
            a[i][j] = a[i+1][j];
            a[i+1][j] = temp;
            ii = i +1;
        }
        else if(i+1< m && j+1== n && a[i+1][j] < a[i][j])
        {
            int temp = a[i][j];
            a[i][j] = a[i+1][j];
            a[i+1][j] = temp;
            ii = i +1;
        }
        else if(j+1< n && i+1== m && a[i][j+1] < a[i][j])
        {
            int temp = a[i][j];
            a[i][j] = a[i][j+1];
            a[i][j+1] = temp;
            jj = j +1;
        }
        if(ii != i || jj != j)
            young_matrixify(a, ii, jj, m, n);
    }
}

(d)其实插入与(c)中的取出操作大同小异，将插入元素放入未满位置，然后比较相邻元素，直至相邻元素都比它小。
(e)所有的数首先插入到矩阵中所用时间为n^2*O(2n)，然后取出操作为n^2*O(2n)，加起来化简之后即为O(n^3)。
(f)算法思想:
   从A[m-1][0]，即左下角开始寻找，比较相邻元素，然后不断循环至m*(n-1)或(m-1)*n矩阵，画画图就很明了了。
   下列代码加入上面代码中即可。

//goal为寻找的数字，m,n为维数
bool find(int** a, int goal, int m, int n)
{
    int mm = m;
    int nn = n;
    while(m>0&& n >0)
    {
        if(a[m-1][nn - n] == goal)
        {
            return true;
        }
        else if(a[m-1][nn - n] > goal)
             --m;
        else if(a[m-1][nn - n] < goal)
            --n;
    }
    return false;
}