最长公共子序列(LCS)

对于最长公共子序列(LCS)，是典型的动态规划问题，对于这个问题，可以用如下思路来解答。
如：X{x1, x2, x3, ... },Y{y1, y2, y3, ...};
1.当x1 = y1时，则此时已找到一个相同的值，故接下来只需求{x2, x3, x4, ...}和{y2, y3, y4, ...}的LCS。
2.当x1 != y1时，则此时X和Y的LCS是下面两个LCS的最大值：
  {x2, x3, x4, ...}和{y1, y2, y3, y4, ...}的LCS，
  或者{x1, x2, x3, x4, ...}和{y2, y3, y4, ...}的LCS。

由上面可以看出这是一个递归问题。
即

            _
            |     0       i==0或j==0
            |
c[i][j] = |-    c[i-1][j-1] + 1    如果i,j>0和xi==yj
            |
            |_  max{c[i][j-1], c[i-1][j]} 如果i,j>0和xi != yj

其实通过代码中的嵌套for循环，即可知道每次通过比较来累积计算长度的。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

char* LCS(const char* x, const char* y);

int main()
{
    char* x = "cbfgade";
    char* y = "bcagfde";

    char* s = LCS(x, y);
    cout<<"最长公共子序列为："<<s<<endl;
    cout<<"长度为："<<strlen(s)<<endl;
    return 0;
}

char* LCS(const char* x, const char* y)
{
    int m = strlen(x);
    int n = strlen(y);

    int** c = new int*[m + 1];
    for (int i = 0; i < m + 1; i++) {
        c[i] = new int[n + 1];
        //每一行第一个元素初始化为0
        c[i][0] = 0;
    }

    //第一行初始化为0
    for (int i = 0; i < n + 1; i++)
        c[0][i] = 0;

    for (int i = 1; i < m + 1; i++) {
        for (int j = 1; j < n + 1; j++) {
            if (x[i - 1] == y[j - 1])
                c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
            else if (c[i][j - 1] >= c[i - 1][j])
                c[i][j] = c[i][j - 1];
            else
                c[i][j] = c[i - 1][j];
        }
    }

    //c[m][n]值为最短子序列的长度
    //用result来保存逆序LCS，通过c[m][n]的值与c[m - 1][ n - 1]，c[m][n - 1]，c[m - 1][n]来判断
    int len = c[m][n];
    char* result = new char[len + 1];
    int count = len;
    while (m > 0 && n > 0) {
        if (c[m][n] == c[m - 1][ n - 1] + 1 && x[m - 1] == y[n - 1]) {
            result[--count] = x[m - 1];
            m--;
            n--;
        } else if (c[m][n] == c[m][n - 1]) {
            n--;
        } else {
            m--;
        }
    }
    result[len] = '\0';

    //释放内存
    for (int i = 0; i < m + 1; i++)
        delete[] c[i];
    delete []c;

    return result;
}