1.1 降维的必要性
1. 多重共线性--预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定，从而可能导致结果的不连贯。
2. 高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间，而在十维空间上只有0.02%。
3. 过多的变量会妨碍查找规律的建立。
4. 仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。
1. 2 降维的目的：
1. 减少预测变量的个数
2. 确保这些变量是相互独立的
3. 提供一个框架来解释结果
1. 3 降维的方法：
- 主成分分析（PCA）
- 从原来的坐标系转换到了新的坐标系，新坐标系的选择是由数据本身决定的
- 第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方向，第二个新坐标轴的选择和第一个坐标轴正交且具有最大方差的方向
- 该过程一直重复，重复次数为原始数据中特征的数目。
- 我们会发现，大部分方差都包含在最前面的几个新坐标轴中。因此，我们可以忽略余下的坐标轴，即对数据进行了降维处理
- 因子分析（Factor Analysis）
- 我们假设在观察数据的生成中有一些观察不到的隐变量（ latentvariable)。
- 假设观察数据是这些隐变量和某些噪声的线性组合。那么隐变量的数据可能比观察数据的数目少，也就是说通过找到隐变量就可以实现数据的降维。
- 因子分析已经应用于社会科学、金融和其他领域中了。
- 独立成分分析（Independent Component Analysis ICA）
- 假设数据是从N个数据源生成的，这一点和因子分析有些类似,假设数据为多个数据源的混合观察结果。
- 这些数据源之间在统计上是相互独立的，而在PCA中只假设数据是不相关的。
- 同因子分析一样，如果数据源的数目少于观察数据的数目，则可以实现降维过程。
（1）PCA