P2600 [ZJOI2008]瞭望塔【半平面交】

题目描述

致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。

我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示

我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔高度尽可能小。

请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

输入格式

输入文件tower.in第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1 ~ yn。

输出格式

输出文件tower.out仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

输入输出样例

输入 #1

6

1 2 4 5 6 7

1 2 2 4 2 1

输出 #1

1.000

说明/提示

对于60%的数据， N ≤ 60；

对于100%的数据， N ≤ 300，输入坐标绝对值不超过106，注意考虑实数误差带来的问题。

题解

先做一遍半平面交，由于必定是无界的，我在左右和上侧各加了一个半平面（做完之后把不需要的边界去掉）。
这样我们就得到了一个下凸壳，如果瞭望塔建在x0这个位置，那么必定是建到直线x=x与这个凸壳的交点的高度即可。然后考虑到高度是由上下共同决定的，经过显而易见的贪心，

可以发现瞭望塔的横坐标要么是这个凸壳上的顶点，要么是下方轮廓线的端点，O(n)扫一遍即可。总复杂度O(nlogn)。

#include<bits/stdc++.h>//半平面交

#define ll long long
using namespace std;
const double M = 1e15;
const int N = 1010;
struct P {
    double x, y;
} s[N], p[N];
int cnt = 0;
struct L {
    P a, b;
    double val;
} t[N], q[N];

P operator-(P a, P b) {
    P t;
    t.x = a.x - b.x;
    t.y = a.y - b.y;
    return t;
}

double operator*(P a, P b) {
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

double ans = 1e15;

bool operator<(L a, L b) {
    if (a.val == b.val)return (a.b - a.a) * (b.b - a.a) > 0;
    return a.val < b.val;
}

P inter(L a, L b) {
    double k1, k2, t;
    k1 = (b.b - a.a) * (a.b - a.a);
    k2 = (a.b - a.a) * (b.a - a.a);
    t = k1 / (k1 + k2);
    P ans;
    ans.x = b.b.x + (b.a.x - b.b.x) * t;
    ans.y = b.b.y + (b.a.y - b.b.y) * t;
    return ans;
}

double dist(L a, P b) {
    double c = (a.a.y - a.b.y) / (a.a.x - a.b.x);
    double d = c * (b.x - a.a.x) + a.a.y;
    return fabs(b.y - d);
}

bool check(L a, L b, L c) {
    P p = inter(a, b);
    return (c.b - c.a) * (p - c.a) < 0;
}

void fun() {
    sort(t + 1, t + 1 + cnt);
    int l = 1, r = 0;
    int tot = 0;
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        if (t[i].val != t[i - 1].val)tot++;
        t[tot] = t[i];
    }
    cnt = tot;
    q[++r] = t[1], q[++r] = t[2];
    for (int i = 3; i <= cnt; i++) {
        while (l < r && check(q[r - 1], q[r], t[i]))r--;
        while (l < r && check(q[l + 1], q[l], t[i]))l++;
        q[++r] = t[i];
    }
    while (l < r && check(q[r - 1], q[r], q[l]))r--;
    while (l < r && check(q[l + 1], q[l], q[r]))l++;
    q[r + 1] = q[l];
    cnt = 0;
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        P o = inter(q[i], q[i + 1]);
        p[++cnt] = o;
    }
}

bool cmp(P a, P b) {
    if (a.x == b.x)
        return a.y < b.y;
    return a.x < b.x;
}


int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> s[i].x;
    for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> s[i].y;
    t[++cnt].a = {s[1].x, M}, t[cnt].b = {s[1].x, 0};
    t[cnt].val = atan2(-M, 0);
    t[++cnt].a = {s[n].x, 0}, t[cnt].b = {s[n].x, M};
    t[cnt].val = atan2(M, 0);
    t[++cnt].a = {M, M}, t[cnt].b = {0, M};
    t[cnt].val = atan2(0, -M);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        t[++cnt].a = s[i], t[cnt].b = s[i + 1];
        t[cnt].val = atan2(s[i + 1].y - s[i].y, s[i + 1].x - s[i].x);
    }
    fun();
    sort(p + 1, p + 1 + cnt, cmp);
    int tot = 0;
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        if (p[i].x == p[tot].x)continue;
        p[++tot] = p[i];
    }
    cnt = tot;
    int i = 1, j = 1;
    p[0].x = p[1].x - 1;
    p[0].y = p[1].y;//避免第一个不相等的情况
    while (i <= cnt && j <= n) {
        if (p[i].x == s[j].x) {
            ans = min(ans, p[i].y - s[j].y);
            i++, j++;
        } else if (p[i].x < s[j].x) {
            L c;
            c.a = s[j], c.b = s[j - 1];
            ans = min(ans, dist(c, p[i]));
            i++;
        } else if (p[i].x > s[j].x) {
            L c;
            c.a = p[i], c.b = p[i - 1];
            ans = min(ans, dist(c, s[j]));
            j++;
        }
    }
    cout << fixed << setprecision(3) << ans << endl;
    return 0;
}