可持久化字典树
对于数列的一段区间，或是树上的路径，从中找出一个数，使得它异或z的值最大。对于其他相似的，可以通过前缀异或和的方式转化成此类。
基本思想：
- 以每个结点为根，建一颗字典树（内容为1到i的值）。这样之后，做差后，即为一段区间或是一段路径。
- 可以发现，如果裸着建，不仅要消耗很多的时间，更是要消耗很多的空间。考虑以i为根的字典树和以（i-1）为跟的字典树的异同。
- 可以发现，在当前以i为根的字典树上减去a[i]，就是（i-1）的字典树了。所以，我们可以将除了a[i]之外的结点都连到（i-1）的树上。
当然，i-1的树也是从i-2的树上引用过来的。
- 这样之后，会出现一个问题。比如，a[i-1]的值与a[i]的值相同，那么我们到底要不要跟新呢？还是直接将root[i]全部指向root[i-1]？
还是之前的做法。除了a[i]的值，其他的值全部引用前面的，将a[i]跟新root[i]。
这样做完之后，可以发现，如果不加以区分，root[i]和root[i-1]的树一模一样，直接做差之后不就没有了。可是事实上，在【i，i】这给区间内，有一个数的值为a[i]。
所以我们用一个sum数组加以区别，也就是说，如果当前的root的结点是引用前面的，那么sum不变。否则（就是a[i]跟新的部分），sum[root[i]]=sum[[root[i-1]]+1。a[i]这个数的每个位置都是之前的+1。 - 这样我们在判断区间的时候，就可以拿sum[root[r]]-sum[root[l-1]]。如果大于0，说明在root[l-1]之后，被跟新过，所以可以取。如果sum值相同，代表root[r]中的那部分是直接引用的root[l-1]中的那部分，这个区间内没有跟新过，所以无法取。
bzoj 3261
给定一个非负整数序列{a}，初始长度为N。
有M个操作，有以下两种操作类型：
1、Ax：添加操作，表示在序列末尾添加一个数x，序列的长度N+1。
2、Qlrx：询问操作，你需要找到一个位置p，满足l<=p<=r，使得：
a[p] xor a[p+1] xor ... xor a[N] xor x 最大，输出最大是多少。查询的部分为sum[p-1] xor sum[N] xor x。sum[N] xor x 直接可得，所以即寻找一个p-1，使得结果最大(l<=p<=r)。
- 直接那前缀异或和做字典树，由于最开始插入了root[1]的值为0,也就是root[1]代表的是sum[0],所以我们本来应该是查找root[l-2],root[r-1]，现在应该是root[l-1],root[r]。
- 查询即可。
//要查询的是sum[n]^sum[k-1]^x 最大。
//从k开始异或，那么l-1<=k-1<=r-1 所以看以r-1为根的树是在以l-2为根的树上跟新过
// 所以应该是root[r],root[l-1]
#include"stdio.h"
#define N 30050000
int tree[N][2];
int root[N];
int l;
int sum[N];
int d[40];
int cnt;
void split(int k){
int i;
l=0;
while(k>0) {
l++;
d[l]=k%2;
k=k/2;
}
for (i=l+1;i<=27;i++) d[i]=0;
return;
}
void build(int x,int &y){
int i;
cnt++;
y=cnt;
sum[y]=sum[x]+1;
int now=y;
for (i=27;i>=1;i--) {
tree[now][d[i]^1]=tree[x][d[i]^1];
cnt++;
tree[now][d[i]]=cnt;
now=cnt;x=tree[x][d[i]];
sum[now]=sum[x]+1;
}
}
int query(int x,int y) {
int ans=0;
int i;
for (i=27;i>=1;i--) {
if (sum[tree[y][d[i]^1]]-sum[tree[x][d[i]^1]]>0) {
ans=ans+(1<<(i-1));
y=tree[y][d[i]^1];x=tree[x][d[i]^1];
}else {
y=tree[y][d[i]];x=tree[x][d[i]];
}
}
return ans;
}
char s[10];
int main(){
int n,m,l,r,sum,x,k,i;
int ans;
cnt=0;
scanf("%d %d",&n,&m);
split(0);
tree[0][0]=0;
tree[0][1]=0;
root[0]=0;
build(root[0],root[1]);
n++;
sum=0;
for (i=2;i<=n;i++) {
scanf("%d",&x);
sum=sum^x;
split(sum);
build(root[i-1],root[i]);
}
for (i=1;i<=m;i++) {
scanf("%s",s);
if (s[0]=='A') {
n++;
scanf("%d",&x);
sum=sum^x;
split(sum);
build(root[n-1],root[n]);
}else {
scanf("%d %d %d",&l,&r,&k);
k=k^sum;
split(k);
ans=query(root[l-1],root[r]);
printf("%d
",ans);
}
}
}
hdu 4757
- 给定一棵树，树上每个点都有一个权值，给两个点，问从l到r的路径上那个点异或z的值最大。
可持久化字典树+lca。
可以发现，树可以本拆分为一条一条从根到叶子的链。但这儿，不用这么麻烦。直接root[i]引用root[father[i]]即可。最后的答案为max(query(root[father[rmq(l,r)]],root[l]),query(root[father[rmq(l,r)]],root[r]))，也就是树上的两个区间的最大值。
/* 有一棵树，树上每个点都有一个权值，给两个点，问从l到r的路径上那个点异或z的值最大。 把每个当成是一颗字典树，从当前点向father连边，跟新自己 */ #include"stdio.h" #include"string.h" #define N 10050000 int tree[N][2]; int root[N]; int ll; int sum[N]; int d[40]; int cnt; struct node{ int v,next; }edge[200050]; int head[100050]; int dp[1000050][30];//rmq int find[1000050];//保存搜索的路径 用来rmq int visit[100050]; int l,count; int start[100050];//保存每个点最开始被搜索到的位置 int rk[100050]; int id[100050]; int father[100050]; int a[100050]; int ss; int min(int a,int b){ if (a>b) return b;return a; } int max(int a,int b) { if (a>b) return a;return b; } void add(int x,int y){ count++; edge[count].v=y; edge[count].next=head[x]; head[x]=count; } void dfs(int k){ int i,v; if (rk[k]==-1) { ss++; rk[k]=ss; id[ss]=k; } for (i=head[k];i!=-1;i=edge[i].next){ v=edge[i].v; if (visit[v]==0){ father[v]=k; visit[v]=1; l++;find[l]=rk[k];if (start[k]==-1) {start[rk[k]]=l;} dfs(v); } } {l++;find[l]=rk[k];if (start[rk[k]]==-1) {start[rk[k]]=l;}} } void initrmq(int n){ int i,j; for (i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=find[i]; for (j=1;(1<<j)<=n;j++) for (i=1;(i+(1<<j))-1<=n;i++) dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]); } int rmq(int l,int r){ int k; k=0; while(((1<<(k+1))+l-1)<=r) k++; return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]); } void split(int k){ int i; ll=0; while(k>0) { ll++; d[ll]=k%2; k=k/2; } for (i=ll+1;i<=25;i++) d[i]=0; return; } void build(int x,int &y){ int i; cnt++; y=cnt; sum[y]=sum[x]+1; int now=y; for (i=25;i>=1;i--) { tree[now][d[i]^1]=tree[x][d[i]^1]; cnt++; tree[now][d[i]]=cnt; now=cnt;x=tree[x][d[i]]; sum[now]=sum[x]+1; } } int query(int x,int y) { int ans=0; int i; for (i=25;i>=1;i--) { if (sum[tree[y][d[i]^1]]-sum[tree[x][d[i]^1]]>0) { ans=ans+(1<<(i-1)); y=tree[y][d[i]^1];x=tree[x][d[i]^1]; }else { y=tree[y][d[i]];x=tree[x][d[i]]; } } return ans; } void ff(int k,int fa){ int i,v; for (i=head[k];i!=-1;i=edge[i].next) { v=edge[i].v; if (v!=fa) { split(a[v]); build(root[k],root[v]); ff(v,k); } } } char s[10]; int main(){ int n,m,sum,x,y,z,lca,k,i,xx,yy,q; int ans1,ans2; while(scanf("%d %d",&n,&q)!=EOF){ cnt=0;count=0; memset(head,-1,sizeof(head)); for (i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); } for (i=1;i<=n-1;i++) { scanf("%d %d",&x,&y); add(x,y); add(y,x); } l=0; memset(start,-1,sizeof(start)); memset(visit,0,sizeof(visit)); memset(rk,-1,sizeof(rk)); memset(id,-1,sizeof(id)); memset(father,-1,sizeof(father)); visit[1]=1; ss=0; father[1]=0; dfs(1); initrmq(l); split(a[1]); tree[0][0]=0; tree[0][1]=0; root[0]=0; build(root[0],root[1]); n++; ff(1,-1); for (i=1;i<=q;i++) { scanf("%d %d %d",&x,&y,&z); split(z); xx=start[rk[x]]; yy=start[rk[y]]; int tmp; if (xx>yy) {tmp=xx;xx=yy;yy=tmp;} lca=id[rmq(xx,yy)]; ans1=query(root[father[lca]],root[x]); ans2=query(root[father[lca]],root[y]); printf("%d ",max(ans1,ans2)); } } }