acwing3. 完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

方法一：

f(i, j)表示背包容量 j 选前 i 种物品得到的最大价值，于是有

一式：f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i-1, j-v)+w, f(i-1, j-2v)+w...., f(i-1, j-kv)+kw)，其中 kv <= j

化简用到的trick: 利用错位相减，令j = j-v，有

二式：f(i, j-v) = max(f(i-1, j-v), f(i-1, j-2v)+w, f(i-1, j-3v)+w....)

结合两式，一式简化成

f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i, j-v)+w)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, v, a[N], b[N], f[N];

// f(i, j)   = max(f(i-1, j), f(i-1, j-v)+w, f(i-1, j-2v)+2w)...
// f(i, j-1) = max(f(i-1, j-v), f(i-1, j-2v)+w, f(i-1, j-3v)+2w)...

// 错位相减得
// f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i, j-v) + w)

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &v);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= v; ++j) {
            if (j >= a[i])
                f[j] = max(f[j], f[j-a[i]]+b[i]);
        }
    }
    printf("%d", f[v]);
}