[HNOI2008]明明的烦恼

Description

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣...... 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3
1
-1
-1

Sample Output

2

HINT

两棵树分别为1-2-3;1-3-2

 

 

 

 

该题运用到了树的prufer编码的性质：

  (1)树的prufer编码的实现

        不断 删除树中度数为1的最小序号的点，并输出与其相连的节点的序号  直至树中只有两个节点

  (2)通过观察我们可以发现

        任意一棵n节点的树都可唯一的用长度为n-2的prufer编码表示

        度数为m的节点的序号在prufer编码中出现的次数为m-1

  (3)怎样将prufer编码还原为一棵树？？

        从prufer编码的最前端开始扫描节点，设该节点序号为 u ,寻找不在prufer编码的最小序号且没有被标记的节点 v ，连接   u,v,并标记v，将u从prufer编码中删除。扫描下一节点。

  

 

 

 

该题需要将树转化为prufer编码：

 n为树的节点数，d[ ]为各节点的度数，m为无限制度数的节点数。

则           

所以要求在n-2大小的数组中插入tot各序号，共有种插法；

在tot各序号排列中，插第一个节点的方法有种插法；

                           插第二个节点的方法有种插法；

                                      .........

另外还有m各节点无度数限制，所以它们可任意排列在剩余的n-2-tot的空间中，排列方法总数为；

 

根据乘法原理：

 

 

然后就要高精度了.....但高精度除法太麻烦了，显而易见的排列组合一定是整数，所以可以进行质因数分解，再做一下相加减。

 

 

关于n!质因数分解有两种方法，第一种暴力分解，这里着重讲第二种。

  若p为质数，则n!可分解为 一个数*，其中且  <n

 

所以

 

 

 

暴力分解：

//模仿CLJ大神写的STL,并学会了各种写代码技巧，长见识了！ 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;

int n,nolimit=0,tot=0,ans[10005]={0};

vector<int> prime;

typedef struct{
       int h[400];
       void Init(){memset(h,0,sizeof(h));}
       
       void mul(int x){
            for(int i=0;i<prime.size();++i)
            while(x%prime[i]==0)
            {h[i]++;x/=prime[i];}
            }
       void div(int x){
            for(int i=0;i<prime.size();++i)
            while(x%prime[i]==0)
            {h[i]--;x/=prime[i];}
            }
       
       }typenum;typenum sum;
       
bool Isprime(int x){
     int i;
     for(i=2;i<=sqrt(x);++i)
     if(x%i==0) return 0;
     return 1;
     }

void Makeprime(){
     for(int i=2;i<=n;++i)
     if(Isprime(i)) prime.push_back(i);
     return ;
     }

void Init(){
     cin>>n;
     Makeprime();
   //  for(int i=0;i<prime.size();++i)
   //  cout<<prime[i]<<"  ";cout<<endl; 
     sum.Init();
   //  for(int i=0;i<400;++i)
   //  cout<<sum.h[i]<<"  ";
     int d;
     for(int i=1;i<=n;++i)
     {
       cin>>d;
       
       for(int i=1;i<d;++i)
       sum.div(i);
       if(d==-1)nolimit++;///注意 
       else tot+=d-1;////注意 
             }
     }

void Work(){
     if(tot>n-2||(tot!=n-2&&nolimit==0)) {cout<<0<<endl;return ;}
     
     for(int i=1;i<=n-2;++i)
     sum.mul(i);
     
     for(int i=1;i<=n-2-tot;++i)
     sum.div(i);
     
     for(int i=1;i<=n-2-tot;++i)
     sum.mul(nolimit);
     
     ans[0]=1;
     for(int i=0;i<prime.size();++i)
     while(sum.h[i]>0)
     {
       sum.h[i]--;
       for(int j=0;j<10000;++j)
       ans[j]*=prime[i];
       
       for(int j=0;j<10000;++j)
       if(ans[j]>9)
       {ans[j+1]+=ans[j]/10;ans[j]%=10;}
                   }
     
     int i=10000;
     while(ans[i]==0) i--;
     while(i>=0) cout<<ans[i--];
     cout<<endl;
     }

int main()
{
    Init();
    Work();
  //  Print();
   // system("pause");
    return 0;
    }

 

n!质因数特殊分解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<fstream>
using namespace std;
//ifstream cin("cin.in");
 
int n,m=0,tot=0,fenmu[1005]={0},fenzi[1005]={0},prime[1005]={0};
int ans[10005]={0};
 
void Fenjie(int zz,int a[]){
     int sum;
     for(int i=2;i<=zz;++i)
     if(prime[i])
     {
       sum=i;
       while(sum<=zz)
       {a[i]+=zz/sum;sum*=i;}
             }
     return ;
     }
 
void Buildprime(){
     int i,j;
     for(i=2;i<=1000;++i)
     {
       for(j=2;j<=sqrt(i);++j)
       if(i%j==0) break;     
       if(j>sqrt(i)) prime[i]=1;//,cout<<i<<"  ";
             }//cout<<endl;
     }
 
int main()
{
    cin>>n;
     
    Buildprime();
 
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
      int d;
      cin>>d;
      if(d==-1) {m++;continue;}
      if(d>1) Fenjie(d-1,fenmu);
      tot+=d-1;
            }
     
    Fenjie(n-2-tot,fenmu);
    Fenjie(n-2,fenzi);
     
    for(int i=1;i<=1000;++i)
    fenzi[i]-=fenmu[i];
     
    ans[0]=1;
     
    for(int i=1;i<=1000;++i)
    while(fenzi[i]>0)
    {
      fenzi[i]--;
      for(int j=0;j<=10000;++j)
      ans[j]*=i;
      for(int j=0;j<=10000;++j)
      if(ans[j]>9)
      {ans[j+1]+=ans[j]/10;ans[j]%=10;}       
                     }
     
    if(m>0)
    for(int i=1;i<=n-2-tot;++i)
    {
      for(int j=0;j<=10000;++j)
      ans[j]*=m;
      for(int j=0;j<=10000;++j)
      if(ans[j]>9)
      {
        ans[j+1]+=ans[j]/10;
        ans[j]%=10;
              }
            }
     
    if(tot>n-2||(tot<n-2&&m==0)) {cout<<0<<endl;return 0;}
     
    int i=10000;
    while(ans[i]==0) i--;
   // if(i<=0) cout<<ans[0];
    while(i>=0) cout<<ans[i--];
    cout<<endl;
     
   // system("pause");
    return 0;
     
    } 

 

最后还要吐槽一句：八中OJ评测不给力啊，就因为ans数组开小了害我检查了一天的WA。