最短路

1.单源最短路径：

问题描述：

给定一张有向图\(G=(V,E)\)，\(V\)是点集，\(E\)是边集，\(|V|=n\)，\(|E|=m\)，节点以\([1,n]\)之间的连续整数编号，\((x,y,z)\)表示一条从\(x\)出发，到达\(y\)的长度为\(z\)的有向边。设\(1\)号点为起点，求长度为\(n\)的数组\(dis\)，其中\(dist[i]\)表示从起点\(1\)到节点\(i\)的最短路径长度。

\(Dijkstra\)算法

流程如下：
\(1.\)初始化\(dis[1]=0\)，其余节点的\(dis\)值为无穷大。
\(2.\)找出一个未被标记的、\(dis[x]\)最小的节点\(x\)，然后标记节点\(x\)。
\(3.\)扫描节点\(x\)的所有出边\((x,y,z)\)，若\(dis[y]>dis[x]+z\)，则使用\(dis[x]+z\)更新\(dis[y]\)。
\(4.\)重复上述\(2~3\)两个步骤，直到所有节点都被标记。

该算法基于贪心思想，只适用于所有边的长度都是非负数，因为只有在这时全局最小值永远不会被更新，我们不断选择最小值去更新，最终可得到\(1\)到每个节点的最短路径长度。

上述过程的时间复杂度是\(O(n^2)\)的，我们可以用堆进行优化，将复杂度降到\(O(nlogn)\)。

代码实例：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=2e5+10;
int n,m,s,cnt_edge;
int head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
inline int read()
{
    char c=getchar();int res=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0',c=getchar();
    return res*f;
}
struct edge
{
    int to,nxt,dis;
}e[maxm<<1];
inline void add_edge(int x,int y,int w)
{
    e[++cnt_edge].nxt=head[x];
    head[x]=cnt_edge;
    e[cnt_edge].to=y;
    e[cnt_edge].dis=w;
}
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair 
#define fir first 
#define sec second 
inline void dijkstra()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    priority_queue<pii>pq;
    dis[s]=0;pq.push(mkp(0,s));
    while(!pq.empty())
    {
        int x=pq.top().sec;pq.pop();
        if(vis[x])continue;
        vis[x]=1;
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int y=e[i].to,w=e[i].dis;
            if(dis[y]>dis[x]+w){dis[y]=dis[x]+w;pq.push(mkp(-dis[y],y));}
        }
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),s=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read(),w=read();
        add_edge(u,v,w);
    }
    dijkstra();
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",dis[i]);
    return 0;
}