题意
首先考虑(O(n^2))怎么做:
经典做法是设(f_i)表示(i)个点的无向连通图个数,(g_i)表示(i)个点的无向图个数。
显然有:(g_i=2^{C_n^2}),即考虑(C_n^2)条边中每条边存不存在。
容斥一下,枚举(1)号节点所在连通块大小,乘个组合数表示选些点和(1)在同一连通块中:
(f_i=g_i-sumlimits_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}f_{j}g_{i-j})
现在考虑优化:
先将阶乘拆开:
(f_i=g_i-sumlimits_{j=1}^{i-1}f_{j}g_{i-j}frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!})
合并同类项:
(frac{f_i}{(i-1)!}=frac{g_i}{(i-1)!}-sumlimits_{j=1}^{i-1}frac{f_j}{j-1}frac{g_{i-j}}{(i-j)!})
设(f'_i=frac{f_i}{(i-1)!},g'_i=frac{g_i}{i!}),有:
(f'_i=i*g'_i-sumlimits_{j=1}^{i-1}f'_jg'_{i-j})
这显然是个卷积的形式,我们可以直接分治(FFT)解决。
code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=520010;
const ll mod=1004535809;
const ll G=3;
const ll invG=334845270;
int n,lim,len;
int pos[maxn];
ll f[maxn],g[maxn],tmp1[maxn],tmp2[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
inline ll power(ll x,ll k)
{
ll res=1;
while(k)
{
if(k&1)res=res*x%mod;
x=x*x%mod;k>>=1;
}
return res;
}
inline void NTT(ll* a,int op)
{
for(int i=0;i<lim;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
for(int l=1;l<lim;l<<=1)
{
ll wn=power(op==1?G:invG,(mod-1)/(l<<1));
for(int i=0;i<lim;i+=l<<1)
{
ll w=1;
for(int j=0;j<l;j++,w=w*wn%mod)
{
int x=a[i+j],y=w*a[i+l+j]%mod;
a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+l+j]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(op==1)return;
ll inv=power(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
}
void solve(int l,int r)
{
if(l==r)return;
int mid=(l+r)>>1;
solve(l,mid);
for(int i=l;i<=mid;i++)tmp1[i-l]=f[i],tmp2[i-l]=g[i-l];
for(int i=mid+1;i<=r;i++)tmp1[i-l]=0,tmp2[i-l]=g[i-l];
lim=1,len=0;
while(lim<=(r-l))lim<<=1,len++;
for(int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
for(int i=r-l+1;i<lim;i++)tmp1[i]=tmp2[i]=0;
NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);
for(int i=0;i<lim;i++)tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%mod;
NTT(tmp1,-1);
for(int i=mid+1;i<=r;i++)f[i]=(f[i]-tmp1[i-l]+mod)%mod;
solve(mid+1,r);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
inv[n]=power(fac[n],mod-2);for(int i=n;i;i--)inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
for(int i=0;i<=n;i++)g[i]=power(2,(1ll*i*(i-1)/2)%(mod-1))*inv[i]%mod;
for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=i*g[i]%mod;
int l=1;while(l<=n)l<<=1;
solve(0,l);
printf("%lld",f[n]*fac[n-1]%mod);
return 0;
}