• P4841 [集训队作业2013]城市规划


    题意

    首先考虑(O(n^2))怎么做:

    经典做法是设(f_i)表示(i)个点的无向连通图个数,(g_i)表示(i)个点的无向图个数。

    显然有:(g_i=2^{C_n^2}),即考虑(C_n^2)条边中每条边存不存在。
    容斥一下,枚举(1)号节点所在连通块大小,乘个组合数表示选些点和(1)在同一连通块中:
    (f_i=g_i-sumlimits_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}f_{j}g_{i-j})

    现在考虑优化:

    先将阶乘拆开:
    (f_i=g_i-sumlimits_{j=1}^{i-1}f_{j}g_{i-j}frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!})
    合并同类项:
    (frac{f_i}{(i-1)!}=frac{g_i}{(i-1)!}-sumlimits_{j=1}^{i-1}frac{f_j}{j-1}frac{g_{i-j}}{(i-j)!})

    (f'_i=frac{f_i}{(i-1)!},g'_i=frac{g_i}{i!}),有:
    (f'_i=i*g'_i-sumlimits_{j=1}^{i-1}f'_jg'_{i-j})

    这显然是个卷积的形式,我们可以直接分治(FFT)解决。

    code:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxn=520010;
    const ll mod=1004535809;
    const ll G=3;
    const ll invG=334845270;
    int n,lim,len;
    int pos[maxn];
    ll f[maxn],g[maxn],tmp1[maxn],tmp2[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
    inline ll power(ll x,ll k)
    {
    	ll res=1;
    	while(k)
    	{
    		if(k&1)res=res*x%mod;
    		x=x*x%mod;k>>=1;
    	}
    	return res;
    }
    inline void NTT(ll* a,int op)
    {
        for(int i=0;i<lim;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
        for(int l=1;l<lim;l<<=1)
        {
            ll wn=power(op==1?G:invG,(mod-1)/(l<<1));
            for(int i=0;i<lim;i+=l<<1)
            {
               	ll w=1;
                for(int j=0;j<l;j++,w=w*wn%mod)
                {
                    int x=a[i+j],y=w*a[i+l+j]%mod;
                    a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+l+j]=(x-y+mod)%mod;
                }
            }
        }
        if(op==1)return;
        ll inv=power(lim,mod-2);
        for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
    void solve(int l,int r)
    {
    	if(l==r)return;
    	int mid=(l+r)>>1;
    	solve(l,mid);
    	for(int i=l;i<=mid;i++)tmp1[i-l]=f[i],tmp2[i-l]=g[i-l];
    	for(int i=mid+1;i<=r;i++)tmp1[i-l]=0,tmp2[i-l]=g[i-l];
    	lim=1,len=0;
    	while(lim<=(r-l))lim<<=1,len++;
    	for(int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
    	for(int i=r-l+1;i<lim;i++)tmp1[i]=tmp2[i]=0;
    	NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);
    	for(int i=0;i<lim;i++)tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%mod;
    	NTT(tmp1,-1);
    	for(int i=mid+1;i<=r;i++)f[i]=(f[i]-tmp1[i-l]+mod)%mod;
    	solve(mid+1,r);
    }
    int main()
    {
    	scanf("%d",&n);
    	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    	inv[n]=power(fac[n],mod-2);for(int i=n;i;i--)inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
    	for(int i=0;i<=n;i++)g[i]=power(2,(1ll*i*(i-1)/2)%(mod-1))*inv[i]%mod;
    	for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=i*g[i]%mod;
    	int l=1;while(l<=n)l<<=1;
    	solve(0,l);
    	printf("%lld",f[n]*fac[n-1]%mod);
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/nofind/p/12134604.html
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