判断一点是否在三角形的外接圆内

在平面上，如果已知( riangle P_0 P_1 P_2)的三个顶点坐标(P_0(x_0, y_0),space P_1(x_1,y_1),space P_2(x_2,y_2))和另一点(P)的坐标((x,y))，要判断点P是否在( riangle P_0 P_1 P_2)内。

这里给出两种判断方法，第一种方法是先求出( riangle P_0 P_1 P_2)的外接圆圆心坐标，然后得到三角形的半径，比较半径和圆心到点(P)的距离，就能判断点(P)和外接圆的位置关系。第二种方法是选择( riangle P_0 P_1 P_2)的一条边作为界线，如边(P_0P_2)，然后根据点(P_1)和点(P)是否在(P_0P_2)同侧，比较(angle P_0 P_1 P_2)和(angle P_0 P P_2)的大小，判断点(P)和外接圆的位置关系。

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第一种方法

三角形的外心坐标公式为：

[x = frac { egin{vmatrix} x_0^2 +y_0^2 & y_0 & 1cr x_1^2 +y_1^2 & y_1 & 1cr x_2^2 +y_2^2 & y_2 & 1 end{vmatrix} } {2 egin{vmatrix} x_0 & y_0 & 1cr x_1& y_1 & 1cr x_2 & y_2 & 1 end{vmatrix} } , y = frac { egin{vmatrix} x_0& x_0^2 +y_0^2& 1cr x_1& x_1^2 +y_1^2& 1cr x_2& x_2^2 +y_2^2& 1cr end{vmatrix} } {2 egin{vmatrix} x_0 & y_0 & 1cr x_1& y_1 & 1cr x_2 & y_2 & 1 end{vmatrix} }]

根据这个外心的坐标公式计算出外接圆的圆心坐标，就能得到圆的半径，从而判断出点(P)与外接圆的位置关系。
定义平面点的数据结构：

struct PointTri
{
	double x;    // x 坐标
    double y;    // y 坐标
};

求解行列式用到能够计算(N)阶行列式的子函数：

// 求 aij 的代数余子式
vector< vector<double> > Cofactor(vector< vector<double> > vecDet_ij, int i, int j)
{
    int k;
    vector< vector<double> > vecReturn;
    vector< vector<double> >::iterator veck;
    // vector<double>::iterator vecl;

    // 初始化二维容器 vecReturn
    k = 0;
    for (veck=vecDet_ij.begin(); veck<vecDet_ij.end(); veck++)
    {
        if ((veck - vecDet_ij.begin()) != i)
        {
            vecReturn.push_back(*veck); // 加入除第 i 行外的所有行

            vecReturn[k].erase(vecReturn[k].begin() + j);
            k++;
        }
    }
    return vecReturn;
}
// 计算行列式的值, 采用递归
double det_Array(vector< vector<double> > vecDet)
{
    int i;
    double Sum = 0.0;
    vector< vector<double> >::iterator vec_Row = vecDet.begin();
    vector<double>::iterator vec_Column = (*vec_Row).begin();
    if (vecDet.size() == 1)
    {
        return *vec_Column;
    }
    else
    {
        i = 0;
        for (; vec_Column < (*vec_Row).end(); vec_Column++)
        {
            Sum = Sum + pow(-1.0, i) * (*vec_Column) * det_Array( Cofactor(vecDet, 0, i++) );
        }
        return Sum;
    }
}

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主要的判断函数为：

// 判断点 Ｐ 是否在圆内
bool InnerOROut(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx)
{
    double Radius_2;  // 半径的平方
/*    double Radius_2T1, Radius_2T2;*/
    double Cntrx, Cntry; //圆心坐标

    // 求圆心和半径
    vector< vector<double> > vecDet1, vecDet2;
    vector<double> A, B, C;

    // 计算圆心的 x 坐标
    A.push_back(pow(Vrtx0.x, 2.0) + pow(Vrtx0.y, 2.0)); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);
    B.push_back(pow(Vrtx1.x, 2.0) + pow(Vrtx1.y, 2.0)); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);
    C.push_back(pow(Vrtx2.x, 2.0) + pow(Vrtx2.y, 2.0)); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);
    vecDet1.push_back(A); vecDet1.push_back(B); vecDet1.push_back(C);

    A.clear(); B.clear(); C.clear();
    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);
    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);
    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);
    vecDet2.push_back(A); vecDet2.push_back(B); vecDet2.push_back(C);
    Cntrx = det_Array(vecDet1) / (2 * det_Array(vecDet2));

    // 计算圆心的 y 坐标
    vecDet1.clear(); vecDet2.clear();
    A.clear(); B.clear(); C.clear();
    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(pow(Vrtx0.x, 2.0) + pow(Vrtx0.y, 2.0)); A.push_back(1.0);
    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(pow(Vrtx1.x, 2.0) + pow(Vrtx1.y, 2.0)); B.push_back(1.0);
    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(pow(Vrtx2.x, 2.0) + pow(Vrtx2.y, 2.0)); C.push_back(1.0);
    vecDet1.push_back(A); vecDet1.push_back(B); vecDet1.push_back(C);

    A.clear(); B.clear(); C.clear();
    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);
    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);
    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);
    vecDet2.push_back(A); vecDet2.push_back(B); vecDet2.push_back(C);
    Cntry = det_Array(vecDet1) / (2 * det_Array(vecDet2));

    // 外接圆的半径的平方
    Radius_2 = pow(Vrtx0.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx0.y - Cntry, 2.0);

    // 判断 Vrtx0 是否在外接圆内或其上，若是，返回 true,否则，返回 false
    double Rad_V0Cntr;
    Rad_V0Cntr = pow(Vrtx.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx.y - Cntry, 2.0);
    if (Rad_V0Cntr <= Radius_2)
    {
        return true;
    } 
    else
    {
        return false;
    }
}

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这种采用通用的计算行列式值的方法代码会比较多，针对三阶行列式的求解可以采用固定的公式，展开求解，针对这个特定的求解问题会显得简化一些：

// 判断点 Ｐ 是否在圆内
bool InnerOROut1(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx)
{
    double Radius_2;  // 半径的平方
    double Cntrx, Cntry; //圆心坐标

    // 求圆心和半径
    double a1 = (Vrtx1.x - Vrtx0.x), b1 = (Vrtx1.y - Vrtx0.y);
    double c1 = (a1*a1 + b1*b1) / 2.0;
    double a2 = (Vrtx2.x - Vrtx0.x), b2 = (Vrtx2.y - Vrtx0.y);
    double c2 = (a2*a2 + b2*b2) / 2.0;
    double d = (a1*b2 - a2*b1);
    Cntrx = Vrtx0.x + (c1 * b2 - c2 * b1) / d;
    Cntry = Vrtx0.y + (a1 * c2 - a2 * c1) / d;
    Radius_2 = pow(Vrtx0.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx0.y - Cntry, 2.0);

    // 判断 Vrtx0 是否在外接圆内或其上，若是，返回 true,否则，返回 false
    double Rad_V0Cntr;
    Rad_V0Cntr = pow(Vrtx.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx.y - Cntry, 2.0);
    if (Rad_V0Cntr <= Radius_2)
    {
        return true;
    } 
    else
    {
        return false;
    }
}

主函数的调用示例：

void main()
{
    system("color F1");
    
// -------------------------------------
    PointTri P0, P1, P2, P;
    P0.x = 0.0; P0.y = 0.0;
    P1.x = 0.0; P1.y = 1.0;
    P2.x = 1.0; P2.y = 0.0;
    P.x = 0.5; P.y = 0.5;

    // if (InnerOROut1(P0, P1, P2, P))
    if (InnerOROut(P0, P1, P2, P))
    {
        cout << "P in the circle" << endl;
    }
    else
    {
        cout << "P not in the circle" << endl;
    }
// -------------------------------------

    system("pause");
}

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第二种方法

基本思路：
step1 计算(angle P_0 P_1 P_2)和(angle P_0 P P_2)的大小，两个角的大小在[0,(pi)]范围内。
(spacespace)step1.1 如果(angle P_0 P P_2=0)，则点(P)不在圆内，结束；如果(angle P_0 P P_2=pi)，则点(P)在圆内，结束。
setp2 判断点(P)和(P_1)是否在(P_0P_2)同侧。
(spacespace)step2.1 这里通过判断向量积 (overrightarrow {P_1P_0} imes overrightarrow {P_1P_2}) 与(overrightarrow {PP_0} imes overrightarrow {PP_2}) 是否同号，如果同号则在同一侧，否则在两侧。
step3 如果点(P)和(P_1)是在(P_0P_2)同一侧，若(angle P_0 P_1 P_2 le angle P_0 P P_2)，则点(P)在圆内，否则在圆外，结束；如果点(P)和(P_1)是在(P_0P_2)不在侧，若(angle P_0 P_1 P_2 + angle P_0 P P_2 ge pi)，则点(P)在圆内，否则在圆外，结束。

// 若果点 Vrtx 在外接圆内或在圆上返回 true, 否则返回 false
bool InnerOROut2(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx)
{
    double PI = 3.14159265358979323846;

    // 选择 P0P1 作为边, 相关的向量定义
    PointTri P2P0, P2P1, PP0, PP1;

    P2P0.x = Vrtx0.x - Vrtx2.x;
    P2P0.y = Vrtx0.y - Vrtx2.y;
    P2P1.x = Vrtx1.x - Vrtx2.x;
    P2P1.y = Vrtx1.y - Vrtx2.y;

    PP0.x = Vrtx0.x - Vrtx.x;
    PP0.y = Vrtx0.y - Vrtx.y;
    PP1.x = Vrtx1.x - Vrtx.x;
    PP1.y = Vrtx1.y - Vrtx.y;

    // 计算角 P0P2P1,
    double angle_P0P2P1;
    if (P2P0.x * P2P0.x + P2P0.y * P2P0.y < 0.000001 || P2P1.x * P2P1.x + P2P1.y * P2P1.y < 0.000001)
    {
        return false;
    } 
    else
    {
        angle_P0P2P1 = acos((P2P0.x * P2P1.x + P2P0.y * P2P1.y) / 
            (sqrt(P2P0.x * P2P0.x + P2P0.y * P2P0.y) * sqrt(P2P1.x * P2P1.x + P2P1.y * P2P1.y)));
    }

    // 计算角 P0PP1,
    double angle_P0PP1;
    if (PP0.x*PP0.x + PP0.y*PP0.y < 0.000001 || PP1.x*PP1.x + PP1.y*PP1.y < 0.000001)
    {
        // 点 P 与点 P0,P1中的一点重合
        return true;
    } 
    else
    {
        angle_P0PP1 = acos((PP0.x*PP1.x + PP0.y*PP1.y) / 
            (sqrt(PP0.x*PP0.x + PP0.y*PP0.y) * sqrt(PP1.x*PP1.x + PP1.y*PP1.y)));
    }

    if (angle_P0PP1 < 0.000001)
    {
        // 点 P 在线段 P0P1 外，但三点共线
        return false;
    }
    if ((PI/2.0 - angle_P0PP1) < 0.000001)
    {
        // 点 P 在线段 P0P1 内，三点共线
        return true;
    }

    // 判断点 P2 和 P 在否在直线 P0P1 的同一侧
    // 通过向量积来判断，PP0 X PP1, P2P0 X P2P1
    double product_P2 = P2P0.x * P2P1.y - P2P1.x * P2P0.y;
    double product_P = PP0.x * PP1.y - PP1.x * PP0.y;
    if (product_P2 * product_P > 0) // 点 P,P2同侧
    {
        if (angle_P0P2P1 <= angle_P0PP1)
        {
            // 在同侧时，角P0P2P1 <= 角P0PP1，点 P 在圆内或圆上
            return true;
        } 
        else
        {
            return false;
        }
        
    }
    else
    {
        // 不在同侧时
        if (angle_P0PP1+angle_P0P2P1 - PI/2.0 >= 0.0)
        {
            return true;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }
}