B样条曲线曲面（附代码）

1 B样条曲线

1.1 B样条曲线方程

B样条方法具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，是形状数学描述的主流方法之一，另外B样条方法是目前工业产品几何定义国际标准——有理B样条方法 (NURBS)的基础。B样条方法兼备了Bezier方法的一切优点，包括几何不变性，仿射不变性等等，同时克服了Bezier方法中由于整体表示带来不具有局部性质的缺点（移动一个控制顶点将会影响整个曲线）。B样条曲线方程可表示为

其中，d_i(i=0,1...n)为控制顶点（坐标），N_i,k(i=0,1...n)为k次规范B样条基函数，最高次数是k。基函数是由一个称为节点矢量的非递减参数u的序列U：u₀≤u₁≤...≤u_n+k+1所决定的k次分段多项式。

B样条的基函数通常采用Cox-deBoor递推公式：

    (2)

 

式中i为节点序号，k是基函数的次数，共有n+1个控制顶点。注意区分节点和控制顶点，节点是在节点矢量U中取得，控制顶点则是坐标点，决定B样条的控制多边形。Cox-deBoor递推公式是B样条曲线的定义的核心，该公式在程序中的实现可采用递归的方式：

function Nik_u = BaseFunction(i, k , u, NodeVector)
% 计算基函数Ni,k(u),NodeVector为节点向量

if k == 0       % 0次B样条
    if (u >= NodeVector(i+1)) && (u < NodeVector(i+2))
        Nik_u = 1.0;
    else
        Nik_u = 0.0;
    end
else
    Length1 = NodeVector(i+k+1) - NodeVector(i+1);
    Length2 = NodeVector(i+k+2) - NodeVector(i+2);      % 支撑区间的长度
    if Length1 == 0.0       % 规定0/0 = 0
        Length1 = 1.0;
    end
    if Length2 == 0.0
        Length2 = 1.0;
    end
    Nik_u = (u - NodeVector(i+1)) / Length1 * BaseFunction(i, k-1, u, NodeVector) ...
        + (NodeVector(i+k+2) - u) / Length2 * BaseFunction(i+1, k-1, u, NodeVector);
end

所给程序可用于计算基函数N_i,k(u)的值，程序中对不同类型的B样条曲线区别在于节点矢量 NodeVector 的取值不同。

 

1.2 B样条曲线的分类

根据节点矢量中节点的分布情况不同，可以划分4中类型的B样条曲线。不同类型的B样条曲线区别主要在于节点矢量，对于具有n+1个控制顶点的 k 次B样条曲线，无论是哪种类型都具有n+k+2个节点。

均匀B样条曲线

节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布。

对应的节点矢量：

 

准均匀B样条曲线

其节点矢量中两端节点具有重复度k+1，即u₀=u₁=...=u_k，u_n+1=u_n+2=...=u_n+k+1，所有的内节点均匀分布，具有重复度1。

对应的节点矢量：

 

分段Bezier曲线

其节点矢量中两端节点的重复度与类型2相同，为k+1。不同的是内节点重复度为k。该类型有限制条件，控制顶点数减1必须等于次数的正整数倍，即必须满足 正整数。

对应的节点矢量：

 

一般非均匀B样条曲线

对任意分布的节点矢量，只要在数学上成立都可选取。

 

这里给出准均匀B样条和分段Bezier曲线的生成节点矢量的代码，均匀B样条的很简单就不列出了。假设共n+1个控制顶点，k次B样条，输入参数为 n, k ，输出节点矢量到NodeVector中。

 

function NodeVector = U_quasi_uniform(n, k)
% 准均匀B样条的节点向量计算，共n+1个控制顶点，k次B样条
NodeVector = zeros(1, n+k+2);
piecewise = n - k + 1;       % 曲线的段数
if piecewise == 1       % 只有一段曲线时，n = k
    for i = n+2 : n+k+2
        NodeVector(1, i) = 1;
    end
else
    flag = 1;       % 不止一段曲线时
    while flag ~= piecewise
        NodeVector(1, k+1+flag) = NodeVector(1, k + flag) + 1/piecewise;
        flag = flag + 1;
    end
    NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = 1;
end

 

function NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k)
% 分段Bezier曲线的节点向量计算，共n+1个控制顶点，k次B样条
% 分段Bezier端节点重复度为k+1，内间节点重复度为k,且满足n/k为正整数

if ~mod(n, k) && (~mod(k, 1) && k>=1)   % 满足n是k的整数倍且k为正整数
    NodeVector = zeros(1, n+k+2);   % 节点矢量长度为n+k+2
    NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = ones(1, k+1);  % 右端节点置1
    
    piecewise = n / k;      % 设定内节点的值
    Flg = 0;
    if piecewise > 1
        for i = 2 : piecewise
            for j = 1 : k
                NodeVector(1, k+1 + Flg*k+j) = (i-1)/piecewise;
            end
            Flg = Flg + 1;
        end
    end
    
else
    fprintf('error!\n');
end

1.3 B样条曲线的计算

根据B样条曲线的定义公式(1)，曲线上任一点坐标值是参数变量u的函数，用矩阵形式表示

     (3)

 

可以看出只要已知控制顶点坐标、曲线的次数 以及基函数，就完全确定了B样条曲线，其中基函数由Cox-deBoor 公式(2)递推计算。

 

2 B样条曲面

2.1 B样条曲面方程

确定一张次张量积B样条曲面需要三个信息：

•   给定个控制顶点构成控制网格
•   给定参数和的次数与
•       u向和v向的节点矢量，

定义的次张量积B样条曲面其方程为：

，B样条基与分别由节点矢量和按Cox-deBoor递推公式（2）计算。

B样条曲面按照沿参数方向u, v所取的节点矢量不同，也可以划分成不同的类型：均匀、准均匀、分片Bezier和非均匀B样条曲面。

2.2 B样条曲面的计算

  给定曲面的控制顶点并确定次数后，还需要根据不同类型的B样条曲面沿参数方向的节点矢量才能完全定义一张B样条曲面。要计算B样条曲面上的顶点坐标，首先沿一个参数方向如u向或v向，计算出该方向由控制顶点确定的B样条曲线，如下图中的红色曲线是沿u向生成的二次均匀B样条曲线，一共有四条。

之后将沿u向计算得到的B样条曲线上的点作为新的控制顶点，得到张量网格沿v向计算，得到的曲线就是B样条曲面上的，下图中绿色线段组成的就是沿v向的控制的顶点，蓝颜色的曲线是沿v向的二次均匀B样条曲线构成了一张二次均匀B样条曲面。关于B样条曲面实现的代码在这里可以下载。

参考文献:

[1] 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条(修订版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013.