一、机器数和真值
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3， 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。
所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二、原码，反码，补码的基础概念和计算方法
对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式。
1、原码
原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。
例如：一个8位二进制
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原码是人们最容易理解和计算的表达方式。
2、反码
反码的表示方法：
正数的反码就是其本身。
负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
例如：
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
如果一个反码表示的是负数，人们无法直观的看出来它的数值，通常要转换为原码再计算。
3、补码
补码的表达方法：
正数的补码就是其本身。
负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。(即在反码的基础上+1)
例如：
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数，补码表示方式也无法直观看出其数值的，通常也需要转换成原码在计算其数值。
总结：
（1）正数的原码，反码，补码都一样。（三码合一）
（2）负数的原码就是符号位加上真值；其反码除了符号位不变，其他取反；补码就是在反码上+1 即可。
三、为什么要使用原码，反码和补码
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为三种编码方式的结果都相同：
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
但是对于一个负数来说：
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码，反码和补码是完全不同的，既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候会根据符号位，选择对真值区域的加减。但是对于计算机，加减乘除已经是最基础的运算，要设计的尽量简单，计算机辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个整数等于加上一个负数，即： 1-1 = 1 + (-1) = 0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
于是人们开始探索，将符号位参与运算，并且只保留加法的方法，首先来看原码：
计算十进制的表达式： 1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的，这也就是为何计算机内部不适用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题，出现了反码：
计算十进制的表达式： 1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在“0”这个特殊的数值上，虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是 0 带符号是没有任何意义的，而且会有 [0000 0000]原 和[1000 0000]原 两个编码表示0。
于是补码的出现，解决了 0 的符号以及两个编码的问题：
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样 0 用 [0000 0000]表示，而以前出现的 -0 则不存在了，而且可以用[1000 0000] 表示 -128：
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127 的结果应该是 -128，在用补码运算的结果中,[1000 0000]补 就是-128。
但是注意因为实际上使用以前的 -0 的补码来表示-128，所以 -128 并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
使用补码，不仅仅修复了0 的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数，这就是为什么8位二进制使用原码或反码表示的范围为[-127,+127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
四、原码，反码，补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算，并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢？
将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:
1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4
2,3 方法中的 mod 是指取模操作，16 mod 12 = 4 即用16除以12后的余数是 4 。
所以钟表往回拨（减法）的结果可以用往前拨（加法）替代！
现在的焦点就落在了如何用一个正数，来替代一个负数，上面的例子可以感觉出来一些端倪。
下面介绍一个数学中相关的概念：同余。
同余的概念
两个整数a,b ，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a,b对于模 m 同余。
记作： a ≡ b(mod m)
读作 a 与 b 关于 模 m 同余。
举例说明：
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4,16,28 关于 模 12 同余。
负数取模
正数进行 mod 运算是很简单的，但是负数呢？
下面的关于 mod 运算的数学定义：
上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是：
x mod y 等于 x 减去 y 乘上 x 与 y 的商的下界。
以 -3 mod 2举例
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以：
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
开始证明
再回到时钟的问题上:
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意, 这里发现的规律!
结合上面学到的同余的概念.实际上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2 与 10 是同余的。
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4 与 8 是同余的。
距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:
反身性：
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的.
线性运算定理:
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.
接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.
发现有如下规律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.
既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:
[0111 1111]原 = 127
其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].
但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]
作者：张子秋
出处：http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/
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