攻克高等数学极限

一、求函数极限的常用方法

1.1 利用有理运算法

1. 存在 +- 不存在 = 不存在
2. 存在 *÷ 不存在 = 不一定
3. 不存在 +-*÷ 不存在 = 不一定

1.2 利用基本极限求极限

[egin{aligned} & lim_{n oinfin}sqrt[n]n=1 \ & lim_{n oinfin}sqrt[n]a=1 \ end{aligned} ]

1.3 利用等价无穷小替换

[egin{aligned} & alpha{x}-1acksim{xlnalpha} \ & x-ln{(1+x)} acksimfrac{x^2}{2} \ & arctan{x}<sin{x}<x<arcsin{x}< an{x} qquad ext{方便记忆下面几个无穷小替换} \ & x-arctan{x} = frac{x^3}{3} \ & x-sin{x} = frac{x^3}{6} \ & arcsin{x}-x = frac{x^3}{6} \ & an{x}-x = frac{x^3}{3} end{aligned} ]

1. 当 (frac{f(x)}{g(x)}=1)，(int_0^x f(t)dt acksim int_0^x g(t)dt)

2. 等价无穷小代换原则：

   1. 乘除关系可以随便换
   2. 加减关系一定条件下可以换（原则就是代换后的结果加减不能为0）
      1. 若 (alphaacksimalpha_1\,,etaacksimeta_1)，且 (lim frac{alpha_1}{eta_1}=A eq{1})，则 (alpha-etaacksimalpha_1-eta_1)
      2. 若 (alphaacksimalpha_1\,,etaacksimeta_1)，且 (lim frac{alpha_1}{eta_1}=A eq{-1})，则 (alpha+etaacksimalpha_1+eta_1)

1.4 利用洛必达

1. 略

1.5 利用泰勒公式

[egin{aligned} & e^x = 1+x+frac{x^2}{2!}+cdots+frac{x^n}{n!}+o(x^n) \ & sin{x} = x-frac{x^3}{3!}+cdots+(-1)^{n-1}frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \ & cos{x} = 1-frac{x^2}{2!}+cdots+(-1)^nfrac{x^n}{2n!}+o(n^2n) \ & ln{(x+1)} = x-frac{x^2}{2}+cdots+(-1)^{n-1}frac{x^n}{n}+o(x^n) \ & frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+cdots+x^n+cdots \ & frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+cdots+(-1)^nx^n \ end{aligned} ]

1.6 利用夹逼准则

1. 略

1.7 利用定积分定义

1. 略

1.8 利用单调有界准则

1. 略

1.9 利用拉格朗日中指定理

1. 略

二、求函数极限的常见题型

2.1 (frac{0}{0}) （重点）

1. 核心思想：消去分母中的 0 因子
2. 常用操作
   1. 洛必达
   2. 等价无穷小代换
   3. 泰勒公式

2.2 (frac{infin}{infin})

1. 常用方法：
   1. 洛必达
   2. 分子分母同时除以各项中最高阶的无穷大

2.3 (0*infin)

1. 常用方法：
   1. 化为 (frac{0}{0} 或 frac{infin}{infin})
   2. 可以把 0 进行无穷小替换

2.4 (infin-infin)

1. 常用方法：
   1. （分式差）通分化变成 (frac{0}{0} 或 frac{infin}{infin})
   2. （根式差）根式有理化变成 (frac{0}{0} 或 frac{infin}{infin})
   3. 提取无穷因子，变成 ((1+x)^alpha-1) 的形式

2.5 (1^infin) （重点）

1. 最好的方法：
   1. 写成标准形式：(原式=lim{[1+alpha(x)]^{eta{(x)}}})
   2. 求极限：(lim{alpha(x)eta(x)}=A)
   3. 写结果：(原式=e^A)

2.6 (infin^{0}和0^0)

1. 常用方法：
   1. (lim{[f(x)]^{g(x)}}=lim{{e}^{g(x)ln{f(x)}}})

三、数列极限

3.1 不定式的数列极限

1. 注意数列极限中的 n 需要改成 x 才能使用洛必达或其他方法，因为 n 是离散点，x 是连续点

3.2 n 项和

1. 夹逼定理
2. 定积分定义
3. 注：当变化部分相对于主要部分为次量级，用夹逼；当变化部分相对于主要部分为同量级，用定积分定义

3.3 n 项连乘

1. 夹逼定理
2. 取对数化为 n 项和

3.4 递推关系

3.4.1 方法一

1. 先证 ({x_n})收敛（单调有界准则）
2. 利用等式 (x_{n+1}=f(x_n)) 两边取极限求出 A
3. 证明 ({x_n}) 单调方法：
   1. (x_{n+1}-x_n)
   2. ({x_n}) 不变号，且 (frac{x_{n+1}}{x_n}geq{1}(leq{1}))
   3. 通过 (f(x_n)) 单调性判断：
      1. (f(x_n)) 单调增，(x_1leq{x_2})，({x_n}) 单调增
      2. (f(x_n)) 单调增，(x_1geq{x_2})，({x_n}) 单调减
      3. (f(x_n)) 单调减，({x_n}) 不单调，只能用方法二

3.4.2 方法二

1. 先利用递推等式求出 A，然后假设 (lim_{n oinfin} x_n = A)
2. 然后利用递推关系证明 (|x_n-A| < B|x_{n-1}-A|)，其中只要 (Bin(0,1))
3. 最后利用递推式证明 (0<|x_n-A|<B^{n-1}|x_1-A|<0)，得证

四、求极限的化简技巧（积累）

1. 看到 (frac{1}{x})，可以考虑倒代换

2. 无穷大 + 无穷大，低阶无穷大可以忽略；无穷小 + 无穷小，高阶无穷小可以忽略

3. (x o-infin) 时，除以 (-x) 可以避免因子出现正负问题

4. 遇到非 0 因子一定要先求出，然后提出来

5. ({frac{x}{x-a}}^x implies {frac{x-a}{x}}^{-x})

6. [lim_{n oinfin}sqrt[n]{(a_1)^n+cdots+(a_n)^n}=max_{{1leq{i}leq{m}}}a_i ]