HDU 5728

HDU 5728 - PowMod

题意：
    定义： k = ∑(i=1,m) φ(i∗n) mod 1000000007

    给出： n,m,p ，且 n 无平方因子

    求： ans= k^(k^(k...k)) mod p  (k有无限个)
    
分析：

    欧拉函数 + 指数循环节
    
    第一部分 求出 k.
        　　定理： 1.欧拉函数是非完全积性函数: φ(m*n) = φ(n)*φ(m) , 当且仅当GCD(n,m) = 1.
        　　应用：
            　　∑(i=1,m)φ(i*n) = φ(pi) * ∑(i=1,m)φ(i*n/pi) + ∑(i=1,m/pi)φ(i*n) ; (n无平方因子数)　，可自行推导
    第二部分
        　　应用指数循环节化无限为有限，具体实现为递归操作
        
       　　指数循环节： A^x = A^(x % φ(C) + φ(C)) (mod C)  (x >= φ(C))

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MOD= 1000000007;
const int MAXN=1e7;
int euler[MAXN+5];
long long sum[MAXN+5];
long long k,n,m,p;
void GetEuler()
{
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1]=1;
    for(int i = 2;i <= MAXN;i++)
        if(!euler[i])
            for(int j = i;j <= MAXN;j += i)
            {
                if(!euler[j]) euler[j]=j;
                euler[j] = euler[j] / i * (i-1);
            }
    sum[1]=1;
    for(int i = 2;i <=MAXN; i++)
        sum[i] = (sum[i-1] + euler[i]) % MOD;
}
long long Get_K(long long n,long long m)
{
    if(m==0) return 0;
    if(m==1) return euler[n];
    if(n==1) return sum[m];
    if(euler[n]==n-1) return (euler[n]*Get_K(1,m)%MOD + Get_K(n,m/n))%MOD;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
        if(n%i==0)
            return (euler[i] * Get_K(n/i,m)%MOD + Get_K(n,m/i) ) % MOD;
}
long long PowMod(long long a,long long b, long long mod)
{
    long long r = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) r = (r*a)%mod;
        a= (a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
long long Cal(long long k, long long p)
{
    if( p == 2) return k&1;//mod φ(p)
    return PowMod(k,Cal(k,euler[p])+euler[p],p);//递归的计算ans，递归出口为φ(p)=1
}
int main()
{
    GetEuler();
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p))
    {
        k = Get_K(n,m);
        printf("%lld
",Cal(k,p));
    }
}

/*
欧拉函数：
对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。   例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

通式：
    对于一个正整数N的素数幂分解    N = (P1^q1) * (P2^q2) * ...* (Pn^qn).
        φ(1) = 1.
        φ(N) = N * (1-1/P1) * (1-1/P2) *...* (1-1/Pn).

定理：
    1.欧拉函数是非完全积性函数: φ(m*n) = φ(n)*φ(m) , 当且仅当GCD(n,m) = 1.
    
    2.一个数的所有质因子之和是  euler(n)*n/2.
    
    3.若n是素数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质.
    
特殊性质： 
    1.当n为奇数时，φ(2n) = φ(n).
    2.对于质数p，φ(p) = p - 1
    3.除了N=2,φ(N)都是偶数.
    
指数循环节：
    A^x = A^(x % φ(C) + φ(C)) (mod C)  (x >= φ(C)) 

定理1 应用：
    ∑(i=1,m)φ(i*n) = φ(pi) * ∑(i=1,m)φ(i*n/pi) + ∑(i=1,m/pi)φ(i*n) ; (n无平方因子数)

*/