stirling数

在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。

Stirling数有两种，第一类和第二类Stirling数，它们自18世纪以来一直吸引许多数学家的兴趣，如欧拉、柯西、西尔沃斯特和凯莱等。后来哥本哈根（Copenhagen）大学的尼尔森（Niels Nielsen，1865-1931）提出了"Stirlingschen Zahlen erster Art" [第一类Stirling数]和"Stirlingschen Zahlen zweiter Art" [第二类Stirling数]，首次把这两类数冠以「Stirling数」之名 。因为苏格兰数学家斯特林（J. Stirling, 1692-1770）首次发现这些数并说明了它们的重要性。

斯特林在解决降阶乘积x（n）=x (x–1)( x–2)…(x–n+1)问题时发现了这些数，他在一篇文章 中列出了下面的式子：

x2 = x(x－1) + x

x3 = x(x－1)(x－2) +3x(x－1) + x

x4 = x(x－1)(x－2)(x－3) + 6x(x－1)(x－2) + 7x(x－1) + x

… … … …

上式中各多项式的系数即是第二类Stirling数，它可以用一个三角数阵的形式表示（表4.2）。第二类Stirling数在组合分析与有限差分中有重要的应用。

 

第二类Stirling数与幂和问题有着密切的联系，其另一种形式出现在关于幂和问题的研究中。这是因为如果把(ex－1)n展开为x的幂级数形式，第二类Stirling数将作为x幂的系数的因子出现。Philadephia的《级数运算导引》（Introduction to Operation with Series，1924）中给出了该数在幂和问题中出现的例子 （该书的第88页）。

 

中国传统数学中的垛积招差术是研究一些计数函数的有效方法。李善兰《垛积比类》卷一、二中的「三角垛有积求高开方廉隅表」和「乘方垛各廉表」列出了两组系数（如表4.3）。李善兰的「造表法」相当于给出了第一类Stirling数和Euler数递归定义。

 

　　第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。

　　递推公式为，

　　S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.

　　S(n+1,k) = S(n,k-1) + nS(n,k)。

    

边界条件：

S(0 , 0) = 1

S(p , 0) = 0  p>=1

S(p , p) =1  p>=0

一些性质:

S(p ,1)  = 1 p>=1

S(p, 2)   = 2^(p-1)– 1   p>=2

　　第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。

　　递推公式为：

　　S(n,k)=0; (n<k||k=0)

　　S(n,n) = S(n,1) = 1,

　　S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).

　　将n个有区别的球的球放入k个无标号的盒子中( n>=k>=1，且盒子不允许为空)的方案数就是stirling数.(即含 n 个元素的集合划分为 k 个集合的情况数)

　　递推公式:

　　S(n,0) = 0

　　S(n,1) = 1 (k = 1)

　　S(n,n) = 1

　　S(n,k) = 0 (k > n)

　　S(n,k) = S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) (n >= k >= 2)

　　分析：设有n个不同的球，分别用b1,b2,...,bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种：

　　1.bn独占一个盒子，那么剩下的球只能放在k-1个盒子里，方案数为S（n-1,k-1);

　　2.bn与别的球共占一个盒子，那么可以将b1,b2,...,bn-1这n-1个球放入k个盒子里，然后将bn放入其中一个盒子中，方案数为k*S(n-1,k).