[BZOJ 1145] 图腾totem

Link：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1145

Solution：

算是一道神题了吧

设 f(abcd)为：当选出的四个数相对大小关系为abcd时，有多少种选择方式 

则 res = f(1324) - f(1243) -f(1432)

用拆分法转化此问题 ：
f(1324) = f(1x2x) - f(1423)
f(1243) = f(12xx) - f(1234)
f(1432) = f(14xx) - f(1432)

所以res = f(1x2x) + f(1234) - f(12xx) - f(14xx)
             = f(1x2x) + f(1234) + f(13xx) - f(1xxx)

预处理求出l[i]，r[i]表示在i的左/右，比a[i]小的个数

可以先用树状数组求l[i]，则r[i]=(a[i]-l[i]-1)

接下来对每一种情况分类讨论即可：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN=2e5+10;
const int MOD=16777215;

int n,dat[MAXN],bit[MAXN],l[MAXN],r[MAXN];

void Update(int pos,int val)
{
    while(pos<=n)
        bit[pos]+=val,pos+=pos&(-pos);
}

int Query(int pos)
{
    int ret=0;
    while(pos)
        ret+=bit[pos],pos-=pos&(-pos);
    return ret;
}

int cal1()//1x2x
{
    memset(bit,0,sizeof(bit));int ret=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ret=(ret+((1ll*(n-i-r[i])*(l[i]*(i-2)-Query(dat[i])-l[i]*(l[i]-1)/2))&MOD))&MOD,
        Update(dat[i],i-1);
    return ret;
}

int cal2()//1234
{
    memset(bit,0,sizeof(bit));int ret=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ret=(ret+(1ll*(n-i-r[i])*Query(dat[i])&MOD))&MOD,
        Update(dat[i],l[i]);
    return ret;
}

int cal3()//13xx
{
    memset(bit,0,sizeof(bit));int ret=0;
    for(int i=n;i>0;i--)
        ret=(ret+(1ll*(n-r[i]-i)*(Query(dat[i])-r[i]*(r[i]-1)/2)&MOD))&MOD,
        Update(dat[i],dat[i]-1);
    return ret;
}

int cal4()//1xxx
{
    memset(bit,0,sizeof(bit));int ret=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {    
        int t=n-i-r[i];
        ret=(ret+(1ll*t*(t-1)*(t-2)/6&MOD))&MOD;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&dat[i]);
        l[i]=Query(dat[i]);r[i]=dat[i]-1-l[i];
        Update(dat[i],1);
    }
    
    printf("%d",(cal1()+cal2()+cal3()-cal4()+MOD+1)&MOD);
    return 0;
}

Review：

1、16777216是2的24次方

      可以用按位与来优化mod

2、思路的借鉴：

一般此类序列性问题，当每一位都确定时反而难以求解

于是我们将确定转化为不确定来统一计算答案