[BZOJ 2115] Xor

Link:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2115

Algorithm:

此题一看到是求异或和最大问题的，立即想到使用线性基解题

最终结果发现是由任意一条1~N的路径和若干个环构成的

证明：

1、如果答案中有环不在任意选取的路径上，可以先走到环再走回来

由于异或的自反性，相当于只增加了环的异或和

2、如果答案中的1~N的路径不是这条，那么这条路径一定和当前任意选取的路径形成一个环

那么我们只要再增加这个环上的异或和，就相当于“更改路径”了

那么接下来，我们只要dfs找到所有的环并记录其异或和

选取任意一条1~N的路径作为初始值，和所有环形成的线性基贪心加合即可

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> P;

inline ll read()  //IO优化中的int要改为LL！！！
{
    char ch;ll num,f=0;
    while(!isdigit(ch=getchar())) f|=(ch=='-');
    num=ch-'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) num=num*10+ch-'0';
    return f?-num:num;
}

#define F first
#define S second

const int MAXN=5e4+10;
const int MAXM=2e5+10;
vector<P> G[MAXN];
int n,m;
bool vis[MAXN];
ll dist[MAXN],base[70],cir[MAXM],res,cnt=0;

void dfs(int x)
{
    vis[x]=true;
    for(int i=0;i<G[x].size();i++)  //寻找返祖边
    {
        P v=G[x][i];
        if(!vis[v.F]) dist[v.F]=dist[x]^v.S,dfs(v.F);
        else cir[++cnt]=dist[x]^dist[v.F]^v.S;
    }
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ll x=read(),y=read(),z=read();
        G[x].push_back(P(y,z));
        G[y].push_back(P(x,z));
    }
    dfs(1);res=dist[n];
    
    for(int i=1;i<=cnt;i++)  //构建线性基
        for(int j=62;j>=0;j--)
        {
            if(!(cir[i]>>j)) continue;
            if(!base[j]){base[j]=cir[i];break;}
            cir[i]^=base[j]; 
        }
        
    for(int i=62;i>=0;i--) res=max(res,res^base[i]);
    cout << res;
    return 0;
}

Review:

1、异或和MAX  <----->   线性基

2、解决有环问题时，不一定要找到所有的环

大多时候，只要找到dfs返祖边形成的环即可

此题是因为一个含有多条返祖边形成的环的异或和就等于几个“小环”的异或总和

3、充分利用异或的自反性

求解异或和问题中，环+异或可以实现“换路”、“远程加环”等操作

4、如果res的初始值不为0，在和线性基添加时不可以看到1就添加，MAX更稳妥