【信号与系统】多项式化简方法

1. 多项式长除法

简介    

      多项式长除法 是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

示例

计算

 

1. 把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：

 

1. 然后商和余数可以这样计算：

将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x3 ÷ x = x2).

1. 将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x2 · (x − 3) = x3 − 3x2).

1. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。((x3 − 12x2) − (x3 − 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项"拿下来"。

1. 把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式 ）

1. 重复第四步。这次没什么可以"拿下来"了。

1. 横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

 

 

 

除法变换

使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式 P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式 Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），

这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .[1] 得到的。

 

原文地址：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E9%95%BF%E9%99%A4%E6%B3%95

 

1. 部分分式展开法

当分母为一个高次幂的单项式时。

我们可以先设定幂数由低到高的次序的系数，如图中所示。

  将分式去掉分母后之后，根据两个多项式是相等的多项式的原理，列出系数a、b、c的方程组。

 

解方程组，得出系数a、b、c的值，代入之前列出的带有系数的多项式即可。

 

那么当分母是多个一次幂的单项式时，我们可以把每个单项式作为一个分母列出，然后分子设定为选定的系数。

 

去掉分母后，用假设法先根据分母中单项式来假设x的值（就是分别能使单项式等于零的值）来求解系数a、b、c的值。

 

 将求得的系数代入即可得出最后结果。

 

还可使用综合除法，步骤如下

部分节选自网络