Math.Net入门笔记

统计量分析 

         若需要计算样本参数的统计量特征分析，可以直接调用Statistics类的扩展方法，也可以将样本传递给DescriptiveStatistics的构造函数一次性计算出全部特性。

代码1是使用DescriptiveStatistics的例程：

using MathNet.Numerics.Statistics;
//ChiSquare创建X~2检验样本，这里的样本值可以换成自己的样本集
var samples = new ChiSquare(5).Samples().Take(1000);
var statistics = new DescriptiveStatistics(samples);
 
// 最大值，最小值，中位数
var largestElement = statistics.Maximum;
var smallestElement = statistics.Minimum;
var median = statistics.Median;
 
// 平均数
var mean = statistics.Mean;
 
// 方差，标准差
var variance = statistics.Variance;
var stdDev = statistics.StandardDeviation;
 
// 峭度，不对称度
var kurtosis = statistics.Kurtosis;
var skewness = statistics.Skewness;

using MathNet.Numerics.Statistics;
 
// 扩展方法是基于 IEnumerable<double>定义的
// 所以需要调用ToArray做一下转化
var samples = new ChiSquare(5).Samples().Take(1000).ToArray()
;
 
// Order Statistics
var largestElement = samples.Maximum();
var smallestElement = samples.Minimum();
var median = samples.Median();
var 250thOrderStatistic = samples.OrderStatistic(250);
 
// Central Tendency
var mean = samples.Mean();
 
// Dispersion
var variance = samples.Variance();
var biasedPopulationVariance = samples.PopulationVariance();
var stdDev = samples.StandardDeviation();
var biasedPopulationStdDev = samples.
PopulationStandardDeviation();

线性代数

关于线性代数的计算位于命名空间MathNet.Numerics.LinearAlgebra下，该命名空间下有四个子命名空间。

l  MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Double:双精度浮点数计算

l  MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Single:单精度浮点数计算

l  MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Complex:进行复杂的双精度浮点数计算

l  MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Complex32:进行复杂的单精度浮点数计算

之所以分为四个子命名空间的原因是考虑了内存需求，双精度浮点矩阵至少需要4倍同样单精度浮点矩阵的内存。此外，好考虑了矩阵的存储情况，现在Math.net支持三种矩阵的存储：

l  DenseMatrix: 任意矩阵

l  SparseMatrix: 稀疏矩阵

l  DiagonalMatrix:对角阵

将矩阵分为这三种也也考虑了对应存储的优化，比如稀疏矩阵在存储时就使用了3数组的稀疏压缩行(Compressed-sparse-row, CSR)格式。

代码3是矩阵乘以向量的例程：

using MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Double;
// Create a vector of dimension 5 with 4.0 in every entry.
var x = new DenseVector(5, 4.0);
// Create a 3 by 5 matrix with 2.0 in every entry.
var A = new DenseMatrix(3, 5, 2.0);
// Multiply the matrix and the vector.
var y = A * x;

特殊函数

l  阶乘：Factorial

l  对数阶乘：FactorialLn

l  伯努利系数：Binomial

l  对数伯努利系数：BinomialLn

l  多项式系数：Multinomial

using MathNet.Numerics;
double x = SpecialFunctions.Factorial(2);
// x will now have the value 2
 
double y = SpecialFunctions.Factorial(4);
// y will now have the value 24

函数插值

函数插值位于命名空间MathNet.Numerics.Interpolation。

Math.net的插值有两种：

1.      为选定算法和样本点创建一个插值结构，你将获得一个实现了IInterpolation接口的类。

2.      使用该插值结构计算任意位置的点。一些插值算法还可以计算偏差和不定积分。

静态类Interpolate提供了工厂方法来创建插值操作：

l  RationalWithoutPoles：创建 Floater-Hormann重心插值

l  RationalWithPoles：创建Bulirsch& Stoer有理插值

l  LinearBetweenPoints：创建样条曲线插值

如果不确定使用哪种插值方法，我们推荐使用Floater-Hormann重心插值。或者，你也可以直接使用别的插值算法，它们都位于子命名空间Algorithms ，下面是一些插值算法：

等间距样本点插值：

l  Polynomial:　重心算法，多项式插值

任意样本点插值：

·        Rational pole-free:Floater-Hormann重心算法

·        Rational with poles: Bulirsch & Stoer算法

·        Neville Polynomial: Neville算法。注意 Neville算法在处理等间距样本点时非常低效。.如果需要在等间距样本点上进行多项式插值，推荐使用barycentric算法。

·        Linear Spline：样条曲线

·        Cubic Spline 带边界条件的三次样条曲线

·        Natural Cubic Spline：普通三次样条曲线

·        Akima Cubic Spline：ａｋｉｍａ三次样条曲线

其他数据插值：

·        Generic Barycentric Interpolation,需要barycentric权重

·        Generic Spline,需要样条系数

·        Generic Cubic Hermite Spline,需要偏差

static void Main(string[] args)
    {
        // 1. 利用函数1/(1+x*x) 在区间 [-5, 5]产生１０个样本点
//points是x坐标，values是y坐标值
        Console.WriteLine(@"1. Generate 10 samples of the 
        function 1/(1+x*x) on interval [-5, 5]");
        double[] points;
        var values = SignalGenerator.EquidistantInterval(
        TargetFunction, -5, 5, 10, out points);
        Console.WriteLine();
 
        // 2. Create a floater hormann rational pole-free 
        interpolation based on arbitrary points
        // This method is used by default when create an 
        interpolation using Interpolate.Common method
        var method = Interpolate.RationalWithoutPoles(points,
        values);
        Console.WriteLine(@"2. Create a floater hormann 
        rational pole-free interpolation based on arbitrary 
        points");
        Console.WriteLine();
 
        // 3. 是否支持积分
        Console.WriteLine(@"3. Support integration = {0}", 
        method.SupportsIntegration);
        Console.WriteLine();
 
        // 4. 是否支持微分
        Console.WriteLine(@"4. Support differentiation = {0}
        ", method.SupportsDifferentiation);
        Console.WriteLine();
 
        // 5. 将插值结果和函数计算结果做比较
        Console.WriteLine(@"5. Interpolate ten random points 
        and compare to function results");
        var rng = new MersenneTwister(1);
        for (var i = 0; i < 10; i++)
        {
            // Generate random value from [0, 5]
            var point = rng.NextDouble() * 5;
            Console.WriteLine(@"Interpolate at {0} = {1}. 
            Function({0}) = {2}", point.ToString("N05"), 
            method.Interpolate(point).ToString("N05"), 
            TargetFunction(point).ToString("N05"));
        }
        Console.ReadKey();
    }
    public static double TargetFunction(double x)
    {
        return 1 / (1 + (x * x));
    }

线性积分变换

math.net目前仅支持两种线性积分变换：离线傅立叶变换和离散哈特莱变换。它们都仅能在频域下进行变换，但傅立叶变换支持复杂数值，而哈特莱变换仅支持实数值。它们都支持正变换和反变换，这是靠方法中的options参数来区分的。

傅立叶空间：离散傅立叶变换DFT和快速傅立叶变换FFT

目前支持的算法有：

·        Naive Discrete Fourier Transform (DFT): Out-placetransform for arbitrary vector lengths. Mainly intended for verifying fasteralgorithms: NaiveForward, NaiveInverse

·        Radix-2 Fast Fourier Transform (FFT): In-placefast fourier transform for vectors with a power-of-two length (Radix-2): Radix2Forward, Radix2Inverse

·        Bluestein Fast Fourier Transform (FFT): In-placefast fourier transform for arbitrary vector lengths:BluesteinForward, BluesteinInverse

另外，Transform类提供了静态方法使我们能更容易地使用傅立叶正变换FourierForward和傅立叶反变换FourierInverse。

// create a complex sample vector of length 96
Complex[] samples = SignalGenerator.EquidistantInterval(
                        t => new Complex(1.0 / (t * t + 1.0),
                        t / (t * t + 1.0)),
-16, 16, 96);
 
// inplace bluestein FFT with default options
Transform.FourierForward(samples);

·        Default: Uses a negative exponent sign inforward transformations, and symmetric scaling (that is, sqrt(1/N) for bothforward and inverse transformation). This is the convention used in Maple andis widely accepted in the educational sector (due to the symmetry).

·        AsymmetricScaling: Set this flag to suppress scalingon the forward transformation but scale the inverse transform with 1/N.

·        NoScaling: Set this flag to suppress scaling forboth forward and inverse transformation. Note that in this case if you applyfirst the forward and then inverse transformation you won't get back theoriginal signal (by factor N/2).

·        InverseExponent: Uses the positive instead of thenegative sign in the forward exponent, and the negative (instead of positive)exponent in the inverse transformation.

·        Matlab: Use this flag if you need Matlab compatibility.Equals to setting the AsymmetricScaling flag.This matches the definition used in the wikipedia article.

·        NumericalRecipes: Use this flag if you needNumerical Recipes compatibility. Equal to setting both theInverseExponent and the NoScaling flags.

默认值：使用负指数符号进行正向转换和对称缩放（即正向和反向转换均使用sqrt（1 / N））。这是Maple中使用的约定，并且由于对称性而在教育界被广泛接受。

·AsymmetricScaling：设置此标志可抑制正向变换的缩放，但以1 / N缩放逆向变换。

·NoScaling：设置此标志可抑制正向和反向变换的缩放。请注意，在这种情况下，如果先应用正向变换然后进行逆变换，则不会得到原始信号（因数N / 2）。

·InverseExponent：在正向指数中使用正号而不是负号，在逆变换中使用负号（而不是正号）。

·Matlab：如果需要Matlab兼容性，请使用此标志。等同于设置AsymmetricScaling标志。这与Wikipedia文章中使用的定义匹配。

·数值配方：如果需要数值配方兼容性，请使用此标志。等于同时设置了InverseExponent和NoScaling标志。

·        h(t) is real valued <=> real part of H(f) is even,imgainary part of H(f) is odd

·        h(t) is imaginary valued <=> real part of H(f) isodd, imaginary part of H(f) is even

·        h(t) is even <=> H(f) is even

·        h(t) is odd <=> H(f) is odd

·        h(t) is real-valued even <=> H(f) is real-valuedeven

·        h(t) is real-valued odd <=> H(f) isimaginary-valued odd

·        h(t) is imaginary-valued even <=> H(f) isimaginary-valued even

·        h(t) is imaginary-valued odd <=> H(f) isreal-valued odd

·h（t）是实值<=> H（f）的实部是偶数，H（f）的虚部是奇数

·h（t）是虚值<=> H（f）的实部是奇数，H（f）的虚部是偶数

·h（t）是偶数<=> H（f）是偶数

·h（t）是奇数<=> H（f）是奇数

·h（t）是实值，即使<=> H（f）是实值偶

·h（t）是实值奇数<=> H（f）是虚值奇数

·h（t）是虚值偶数== H（f）是虚数偶数

·h（t）是虚数值奇数<=> H（f）是虚数值奇数