HDU 2855 (矩阵快速幂)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2855

题目大意：求$S(n)=sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}Fibonacci(k)$

解题思路：

题目挺吓人的。先把完整组合数+Fibonacci展开来。

利用Fibonacci的特性，从第一项开始消啊消，消到只有一个数：

$S(0)=f(0)$

$S(1)=f(2)$

$S(2)=f(4)$

$S(n)=f(2*n)$

这样矩阵快速幂就可以了，特判$n=0$时的情况。

快速幂矩阵

$egin{bmatrix}f1 & f0 \ 0 & 0end{bmatrix}egin{bmatrix}1 & 1 \1 & 0 end{bmatrix}=egin{bmatrix}f2 & f1 \
0 & 0end{bmatrix}$

代码

#include "cstdio"
#include "cstring"
#define LL long long
#define mod m
#define K 2
LL n,m;
struct Matrix
{
    LL mat[K][K];
    Matrix() {memset(mat,0,sizeof(mat));}
    Matrix(LL *val)
    {
        int idx=0;
        for(int i=0;i<K;i++)
            for(int j=0;j<K;j++)
              mat[i][j]=val[idx++];
    }
};
Matrix operator * (Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ret;
    for(int i=0;i<K;i++)
        for(int j=0;j<K;j++)
    {
        ret.mat[i][j]=0;
        for(int k=0;k<K;k++)
            ret.mat[i][j]+=((a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod);
    }
    return ret;
}
Matrix operator ^ (Matrix a,LL n)
{
    Matrix ret,base=a;
    for(int i=0;i<K;i++) ret.mat[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ret=ret*base;
        base=base*base;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
        if(n==0) printf("0
");
        else
        {
            LL obj=n*2;
            LL bval[]={1,0,0,0};
            LL pval[]={1,1,1,0};
            Matrix Base(bval),Pow(pval),ans=Pow^(obj-1);
            ans=Base*ans;
            printf("%I64d
",ans.mat[0][0]%mod);
        }
    }
}