HDU 2842 (递推+矩阵快速幂)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2842

题目大意：棒子上套环。第i个环能拿下的条件是：第i-1个环在棒子上，前i-2个环不在棒子上。每个环可以取下或放上，cost=1。求最小cost。MOD 200907。

解题思路：

递推公式

题目意思非常无聊，感觉是YY的。

设$dp[i]$为取第i个环时的总cost。

$dp[1]=1$，$dp[2]=2$，前两个环取下是没有条件要求的。

从i=3开始，由于条件对最后的环限制最大，所以从最后一个环开始取。

$p[3]=5$（先取下第一个环，然后第三个环，然后放上第一个环，然后取下第二个环，然后取下第一个环)

$dp[4]=10$（规律是：取i环花费1，依赖花费$dp[i-1]$、$2*dp[i-2]$)

所以$dp[i]=dp[i-1]+2*dp[i-2]+1$

矩阵快速幂

任何递推数列都能构造矩阵求解，有N个参数的通项公式，至少需要构造$1*N$的矩阵

考虑到矩阵乘法的维数限制$[N,M]*[M,P]$，通常构造成$N*N$的矩阵。

构造方法就是按矩阵乘法的特性，先构造出幂矩阵第一列，然后YY出剩余列。

本题构造如下：

$egin{bmatrix}f2 & f1  & 1\ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0end{bmatrix}egin{bmatrix}1 &  1&0 \ 2 &  0&0 \ 1& 0 &1 end{bmatrix}=egin{bmatrix}f3 &  f2&1 \
0 &  0&0 \ 0& 0 &0end{bmatrix}$

特判n=1、n=2，从n=3开始，幂(n-2)次，乘以基础f2、f1的矩阵。

代码

#include "cstdio"
#include "cstring"
#define LL long long
#define mod 200907
#define K 3
struct Matrix
{
    LL mat[K][K];
    Matrix() {memset(mat,0,sizeof(mat));}
    Matrix(LL *val)
    {
        int idx=0;
        for(int i=0;i<K;i++)
            for(int j=0;j<K;j++)
              mat[i][j]=val[idx++];
    }
};
Matrix operator * (Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ret;
    for(int i=0;i<K;i++)
        for(int j=0;j<K;j++)
    {
        ret.mat[i][j]=0;
        for(int k=0;k<K;k++)
            ret.mat[i][j]+=((a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod);
    }
    return ret;
}
Matrix operator ^ (Matrix a,int n)
{
    Matrix ret,base=a;
    for(int i=0;i<K;i++) ret.mat[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ret=ret*base;
        base=base*base;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    LL n;
    while(scanf("%I64d",&n)&&n)
    {
        if(n==1) printf("1
");
        else if(n==2) printf("2
");
        else
        {
            LL bval[]={2,1,1,0,0,0,0,0,0};
            LL pval[]={1,1,0,2,0,0,1,0,1};
            Matrix Base(bval),Pow(pval),ans=Pow^(n-2);
            ans=Base*ans;
            printf("%I64d
",ans.mat[0][0]%mod);
        }
    }
}