Vijos 1100 (区间DP)

题目链接: https://vijos.org/p/1100

题目大意：NOIP著名的加分二叉树。给出一棵树的中序遍历，加分规则左子树*右子树+根。空子树分数为1。问最大加分的树结构，输出树结构的先序遍历。

解题思路：

先从小的问题看起。

对于一棵子树，只要知道根是啥，就能轻松求出这棵子树的加分情况。

那么就变成枚举根的区间DP问题。

由于要输出先序遍历，则用m[i][j]记录在i~j区间选择的根。

区间DP边界：

①一个点情况：即无左右子树，dp[i][i]=node[i],m[i][i]=i.

②两个点情况，即无右子树。dp[i][i+1]=node[i]+node[i+1];m[i][i+1]=i。

注意为什么DP边界是两种情况，是因为区间DP枚举中间分割点时，是按照常规处理左区间和右区间的，以上两种情况，左右区间都是有问题的。

所以需要特别预处理。

区间DP：

推荐先枚举区间间隔p的写法，这里直接从p=2开始计算。p=0，p=1已经预处理。

对于dp[i][j]，则根k的范围(i+1,j)，按照规则写方程就行了。m[i][j]=k，记录每个区间的根。

则最后ans=dp[1][n]。

递归打印方案，先序遍历是根左右，不要打错了。

#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "cstring"
int dp[31][31],m[31][31],node[31];
void print(int i,int j)
{
    printf("%d ",m[i][j]);
    if(i<=m[i][j]-1) print(i,m[i][j]-1);
    if(m[i][j]+1<=j) print(m[i][j]+1,j);
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&node[i]);
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            dp[i][i]=node[i];
            m[i][i]=i;
            dp[i][i+1]=node[i]+node[i+1];
            m[i][i+1]=i;
        }
        for(int p=2; p<=n; p++)
        {
            for(int i=1; i<=n; i++)
            {
                int j=i+p;
                if(j>n) break;
                dp[i][j]=1;
                for(int k=i+1; k<j; k++)
                {
                    if((dp[i][k-1]*dp[k+1][j]+node[k])>dp[i][j])
                    {
                        dp[i][j]=dp[i][k-1]*dp[k+1][j]+node[k];
                        m[i][j]=k;
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d
",dp[1][n]);
        print(1,n);
    }
}