BZOJ 3529: [Sdoi2014]数表

3529: [Sdoi2014]数表

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Description

    有一张N×m的数表，其第i行第j列（1 < =i < =礼，1 < =j < =m）的数值为
能同时整除i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。

Input

    输入包含多组数据。
    输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数，接下来Q行，每行三个整数n，m，a(|a| < =10^9)描述一组数据。

Output

    对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。

Sample Input

2
4 4 3
10 10 5

Sample Output

20
148

HINT

1 < =N．m < =10^5  ， 1 < =Q < =2×10^4

Source

Round 1 Day 1

分析：

论我的心情变化：劳资不陪你玩了，我还不信推不出来了--->TAT你赢了--->%PoPoQQQ...

大家都膜拜了Po姐，那我们也来膜拜一发...

首先公式恐惧症的我看到公式就GG，所以先把a的限制去掉...

定义F(i)代表i的约数之和...g(i)代表gcd(x,y)=i的数对个数...根据BZOJ1101我们可以得出g(i)的做法...

Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) F(gcd(i,j))     (还是规定n<m)

=Σ(1<=i<=n) F(i)*g(i)

=Σ(1<=i<=n) F(i)*Σ(1<=x<=n/i) μ(x)*(n/i/x)*(m/i/x)

=Σ(1<=i<=n) F(i)*Σ(i|x&&x<=n) μ(x/i)*(n/x)*(m/x)

=Σ(1<=x<=n) (n/x)*(m/x)*Σ(i|x)μ(x/i)*F(i)

所以我们还是可以采用分段的思想...

先暴力的预处理出F函数和μ函数，然后枚举i，再枚举i的倍数x，用树状数组维护前缀和...

现在加上了a的限制...那就离线，按照a从小到大排序...

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;
//大鹏一日同风起，扶摇直上九万里

const int maxn=100000+5,maxm=20000+5;

int cas,cnt,Max,Mod=2147483647,tr[maxn],miu[maxn],vis[maxn],prime[maxn];

struct M{
    int n,m,a,id;
    unsigned int ans;
}q[maxm];

struct N{
    int pos,val;
}f[maxn];

inline bool cmp1(M x,M y){
    return x.a<y.a;
}

inline bool cmp2(M x,M y){
    return x.id<y.id;
}

inline bool cmp3(N x,N y){
    return x.val<y.val;
}

inline void insert(int x,int y){
    for(;x<=Max;x+=x&(-x))
        tr[x]+=y;
}

inline int query(int x){
    int sum=0;
    for(;x;x-=x&(-x))
        sum+=tr[x];
    return sum;
}

signed main(void){
    scanf("%d",&cas);Max=0;
    for(int i=1;i<=cas;i++){
        scanf("%d%d%d",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].a),q[i].id=i;
        if(q[i].n>q[i].m)
            swap(q[i].n,q[i].m);
        Max=max(Max,q[i].m);
    }miu[1]=1;cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=Max;i++){
        if(!vis[i])
            vis[i]=1,prime[++cnt]=i,miu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=Max;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                miu[i*prime[j]]=0;break;
            }
            miu[i*prime[j]]=-miu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=Max;i++){
        f[i].pos=i;
        for(int j=i;j<=Max;j+=i)
            f[j].val+=i;
    }
    sort(f+1,f+Max+1,cmp3);
    sort(q+1,q+cas+1,cmp1);
    int lala=0;
    for(int i=1;i<=cas;i++){
        while(lala+1<=Max&&f[lala+1].val<=q[i].a){
            lala++;
            for(int j=f[lala].pos;j<=Max;j+=f[lala].pos)
                insert(j,f[lala].val*miu[j/f[lala].pos]);
        }
        for(int j=1,r;j<=q[i].n;j=r+1){
            r=min(q[i].n/(q[i].n/j),q[i].m/(q[i].m/j));
            q[i].ans+=(query(r)-query(j-1))*(q[i].n/j)*(q[i].m/j);
        }
        q[i].ans&=Mod;
    }
    sort(q+1,q+cas+1,cmp2);
    for(int i=1;i<=cas;i++)
        printf("%u
",q[i].ans);
    return 0;
}

---

By NeighThorn