置换群基础概念

群

群是一个在定义运算中封闭的集合，群(G=(S,*)),(S)表示群中的元素，(*)是一个定义于(S)中元素的二元运算,且具有以下性质

1.封闭性:(forall p1,p2in G,p1*p2in G)

2.结合律:(p1*(p2*p3)=(p1*p2)*p3)

3.存在单位元:(p*e=e*p=p)

4.存在逆元:(p1*p2=p2*p1=e),(p1,p2)互为逆元,且逆元唯一

特别的，如果G中元素满足交换律，则称其为一个阿贝尔群

群阶:(mid Gmid=mid Smid),集合中元素个数

对于运算(p1*p2),可简写为(p1p2)，(p^k)等价于(Pi_{i=1}^kp)

对于运算(p1*p2=p1*p3),存在(p2=p3)

运算((p1*p2)^{-1})等于(p1^{-1}*p2^{-1})

子群

集合H是G的子集，若H关于(*)封闭，则H称为G的子群

子群存在与全集相同的逆元和单位元

陪集

对于G,它的子群H的左陪集aH定义为({{ahmid hin S}}),右陪集同理

陪集还是一个类似的集合，比如((R,+))的子群((Z,+)),在R中找一个数，比如2，对Z中每一个数+2后形成的新集合，就称为2确定的((R,+))中整数子群的左陪集

现在讨论右陪集的性质，左陪集同理

[Haigcap Hb= egin{cases} Ha& ext{Ha=Hb}\ phi& ext{else} end{cases}]

这个性质说明可以将群G划分为一个子群互不相交的集合的并，并可以由此推导出拉格朗日定理

(mid Gmid=mid G:Hmid *mid Hmid),其中(G:H)表示G的子群H的不同右陪集个数

即一个群的子群的个数整除该群的阶数

置换

就是在两个由1到n的集合中的满射，用

(A=)

((a1,a2......an))

((b1,b2......bn))

来表示，(a_i->b_i),每个元素之间存在映射关系

一个置换可用循环来简写，((a_1,a_2......a_n))等价于

((a_1,a_2......a_n))

((a_2......a_n,a_1))

任何一个置换都可用若干循环的乘积来表示

可以把一个置换分解为从各个点迭代映射到的所有点的集合的乘积

每个这样的乘积称为换位(二阶循环也可称为对换)，两个不相交的换位满足交换律

并且任意置换也可写作若干个对换的积

这样的分解并不唯一，但是他们的奇偶性唯一(指分解为对换)