欧拉函数

欧拉函数的计算

质数的定义可得,(phi(p)=p-1)

(phi(p^k)=p^k-p^{k-1})

与p有公因数的数(1*p^{p-1},2*p^{p-1},3*p^{p-1}......(p-2)*p^{p-1},(p-1)*p^{p-1},p*p^{p-1}),共有p个这样的数

(phi(n*m)=phi(n)*phi(m)),这是一个积性函数

关于积性函数，(f(pq)=f(p)f(q),p⊥q),若不要求(p⊥q),则称完全积性函数

现在有2个集合

(A={ ain[0,mn),gcd(a,mn)=1 }),(B={ (b,c),bin[0,m),cin[0,n),gcd(b,m)=1,gcd(c,n)=1 })

1.A，B的模数

由定义可得，(mid Amid=phi(mn)),在B中，b有(phi(m))种取值，c有(phi(n))种取值，((b,c))有(phi(m)*phi(n))种取值

证明两个集合互为双射，就可以说明(phi(n*m)=phi(n)*phi(m))

2.有2个陈述需要被证明:

1.不同的a对应一组不同的(b,c),即存在(f:A arr B),且A到B为单射

2.不同的(b,c)对应一组不同的a,即存在(f:B arr A),且B到A为单射

证明1:

取a1,a2使(a1equiv a2 (modn),a1equiv a2 (modm)),即a1,a2在B中有相同的象

( herefore mmid(a1-a2),nmid(a1-a2))

(ecause gcd(m,n)=1)

( herefore mnmid(a1-a2))

(ecause a1,a2in[0,mn))

( herefore a1=a2)

即A中不存在两个不同的的元，使他们到B的象相同

证明2:

此处的证明就是中国剩余定理的一种情况，Chinese remainder theorem(CRT)，能引出许多性质来，这里只讨论限于二元同余方程组的解

(xequiv b(modm))

(xequiv c(modn))

式1可得(x=b+my)

将x带入式2

(myequiv c-b(modn))

可解出y,y有解，且必有1解((gcd(m,n)=1)),(yin[0,n))

回代入x，此时(xin[0,mn)),且x为两个同余方程的解

这一事实说明了集合B中每一组(b,c)都能在A中找到唯一象

上述2个事实说明A，B互为满射，模数相等，即(phi(n*m)=phi(n)*phi(m))