BZOJ3456: 城市规划 多项式求逆

3456: 城市规划

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Description

 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.
 刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.
 好了, 这就是困扰阿狸的问题. 换句话说, 你需要求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目.
 由于这个数字可能非常大, 你只需要输出方案数mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可.

Input

 仅一行一个整数n(<=130000)
 

Output

 仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809.
 

Sample Input

3

Sample Output

4

HINT

 对于 100%的数据, n <= 130000

Source

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很经典的多项式问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=300000,mod=1004535809;

ll fpm(ll a,ll b){
    ll ret=1ll;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
        if(b&1)ret=ret*a%mod;
    return ret;
}

ll fac[maxn],ifac[maxn];

void init(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn>>1;++i){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    ifac[(maxn>>1)-1]=fpm(fac[(maxn>>1)-1],mod-2);
    for(int i=(maxn>>1)-1;i;--i){
        ifac[i-1]=ifac[i]*i%mod;
    }
}

int A[maxn],B[maxn];
int n,m;

void fft(int *a,int n,int on){
    static int tmp[maxn];
    if(n==1)return;
    for(int i=0;i<n;++++i){
        tmp[i>>1]=a[i];
        tmp[i+n>>1]=a[i+1];
    }
    
    memcpy(a,tmp,sizeof(a[0])*n);
    int *l=a,*r=a+(n>>1);
    fft(l,n>>1,on);
    fft(r,n>>1,on);
    
    int wn=1,w=fpm(3,(1ll*(mod-1)/n*on)%(mod-1));
    for(int i=0;i<n>>1;++i){
        tmp[i]=(1ll*wn*r[i]%mod+1ll*l[i])%mod;
        tmp[i+(n>>1)]=(1ll*l[i]+mod-1ll*wn*r[i]%mod)%mod;
        wn=1ll*wn*w%mod;
    }
    memcpy(a,tmp,sizeof(a[0])*n);
}

void mul(int *a,int *b,int m){

    fft(a,m,1);fft(b,m,1);
    for(int i=0;i<m;++i){
        a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    }
    fft(a,m,mod-2);
    for(int i=0,inv=fpm(m,mod-2);i<m;++i){
        a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
    }
}

void the_inv(int *a,int *b,int n){
    fft(a,n,1);
    fft(b,n,1);
    for(int i=0;i<n;++i)
        a[i]=1ll*(2ll-1ll*a[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
    fft(a,n,mod-2);
    for(int i=0,inv=fpm(n,mod-2);i<n;++i){
        b[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
    }
}

void Get_inv(int *a,int *b,int n){
    static int tmp[maxn];
    if(n==1){
        b[0]=fpm(a[0],mod-2);
        return;
    }
    Get_inv(a,b,n>>1);
    memcpy(tmp,a,sizeof(a[0])*n);
    memset(tmp+n,0,sizeof(a[0])*n);
    the_inv(tmp,b,n<<1);
    memset(b+n,0,sizeof(a[0])*n);
}

int main(){
    init();
    scanf("%d",&n);
    
    for(m=1;m<=n<<1;m<<=1);
    
    for(int i=0;i<=n;++i){
        A[i]=fpm(2,(1ll*i*(i-1)>>1)%(mod-1));
        A[i]=A[i]*ifac[i]%mod;
    }
    Get_inv(A,B,m>>1);

    A[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        A[i]=fpm(2,(1ll*i*(i-1)>>1)%(mod-1));
        A[i]=A[i]*ifac[i-1]%mod;
    }
    mul(A,B,m);
    
    cout<<1ll*A[n]*fac[n-1]%mod<<endl;
    return 0;
}