线性及非线性规划计算软件
ＬＩＮＧＯ
ＬＩＮＧＯ是一个简便的线性规划与非线性规划计算程序，下面用一个例子来说明ＬＩＮＧＯ的基本概念，启动ＬＩＮＧＯ后，在命令窗口中输入：
MAX = ２* Ｘ + ３ * Ｙ;
Ｘ＋Ｙ<= 100;
这就是一个最简单的线性规划，输入后，按求解键，ＬＩＮＧＯ就会给出计算结果。其中结果用求解窗口的形式给出，具体参见ＬＩＮＧＯ的帮助文件给出的详细说明。此处，２Ｘ＋３Ｙ称为目标函数，本例中求最大值。Ｘ＋Ｙ＜＝１００为约束条件。而Ｘ、Ｙ为变量。请注意，ＬＩＮＧＯ中的每一行都以分号结束。如果有多个约束条件，就从上面的第三行一直往下写。与ＬＩＮＤＯ一样，ＬＩＮＧＯ中＜与＜＝均代表＜＝，＞与＞＝也均代表＞＝。ＬＩＮＧＯ中的注解命令也是符号！，若一个命令或语句一行写不下，可以分多行写，但是，最后结束命令时，一定别忘了打个分号“；”，一行内也可写多个命令，只要每个用分号分开即可，也就是说，分号是ＬＩＮＧＯ的分隔符。ＬＩＮＧＯ的命令从来不区分大小写，当你在ＬＩＮＧＯ中定义变量时，每个变量都要以２６个字母开始，后面可跟数字或者下划线，最多可以３２个字符长。下面是２个例子。
例 下面是一个最简单的非线性规划，它实质上是求(x-y)^2+(z-2)^2+4 的最小值。在ＬＩＮＧＯ中输入下式后，按求解图标，看一看ＬＩＮＧＯ会给出什么结果。
MIN=x^2-2*x*y+y^2+z^2-4*z+8; x>=0; y>=0; z>=0;
用ＬＩＮＧＯ求解规划问题，那真是方便极了，我们最后举一个例子。
例２ 下面目标函数的原型是(x1+2*x2+3*x3+4*x4+...+8*x8+9*x9)^2。
在ＬＩＮＧＯ中输入下列命令：
MIN=
x1^2+4*x1*x2+4*x2^2+6*x1*x3+12*x2*x3+9*x3^2+8*x1*x4+16*x2*x4+
24*x3*x4+16*x4^2+10*x1*x5+20*x2*x5+30*x3*x5+40*x4*x5+25*x5^2+
12*x1*x6+24*x2*x6+36*x3*x6+48*x4*x6+60*x5*x6+36*x6^2+14*x1*x7+
28*x2*x7+42*x3*x7+56*x4*x7+70*x5*x7+84*x6*x7+49*x7^2+16*x1*x8+
32*x2*x8+48*x3*x8+64*x4*x8+80*x5*x8+96*x6*x8+112*x7*x8+64*x8^2+
18*x1*x9+36*x2*x9+54*x3*x9+72*x4*x9+90*x5*x9+108*x6*x9+126*x7*x9+
144*x8*x9+81*x9^2;
3*x3+4*x4>=1; 5*x5+6*x6+7*x7>=2; 8*x8+9*x9>=3;
ＬＩＮＧＯ最后给出的结果正好是我们所期望的值：３６。
请注意，与Ｍathematica、Mathlab同在一张光盘上的ＬＩＮＧＯ4是学生版，即是Student Edition，它的限定条件最多只能有４个，５个或５个以上就算不了，但这也能解决一些问题。实际计算时，请找我安装一个ＬＩＮＧＯ５的ＤＥＭＯ版，它最多允许计算１５０个限制条件，３００个变量。我们下面的说明，版本４与版本５是一样的。
下面是ＬＩＮＧＯ５的解密过程，也就是在LINGO5中去掉变量个数限制及限定条件个数限制的方法:
找到c:lingo5Lingsolv.dll, 其文件大小是:2,108,416, 然后用二进编辑软件如UEDIT装入此文件.
查找字符串: 00 8b 55 fc 89 02 （只有一处）
将它替换为: 00 8b 55 fc 90 90
再找到:
查找字符串: a1 88 bd 20 60 (有2处要改动)
将它替换为: b8 05 00 00 00
最后存盘，然后以demo方式进入ＬＩＮＧＯ５即可.
在ＬＩＮＧＯ中，输入限制条件时，如果限制条件很多，那么如果某个限制条件出错，ＬＩＮＧＯ给出的错误信息是一个行号，告诉你某行出现错误，但如果你在限制条件前面加上用方括号括起来的某个字符串，参见ＬＩＮＧＯ目录下的ＳＡＭＰＬＥＢＯＸ程序，那么此时限制条件出错，ＬＩＮＧＯ给出的错误信息会一目了然，而且ＬＩＮＧＯ最后给出的分析结果你也会看得清清楚楚，不过这个字符串应该符合变量的定义规则，建议你用这种方法输入限制条件。通过以上介绍, 就完全可以计算了, 下面我们介绍LINGO的语法.
◆ 算术运算符: +, -, *, /, ^, 用括号括起来的式子优先级最高.
◆ 逻辑运算符: #NOT#, #EQ#, #NE#, #GT#, #GE#, #LT#, #LE#, #AND#, #OR#.这与FORTRAN一致, 主要用在:@MIN,@MAX,@SUM,@FOR中.
◆ 关系运算符: =, <=, >=. 请注意,LINGO中没有严格的>或<, 如果你真要用到的话,比如A<B, 请将它转化为A+e<B, 其中e是一个近似于零的数.
◆ 数学函数: @ABS(X), @COS(X), @EXP(X), @FLOOR(X)(返回X的整数部分,若X>0,它返回小于X的最大整数,若X<0,它返回大于X的最大整数), @LGM(X)[它是(X-1)的阶乘取自然对数,即LN((X-1)!))], @LOG(X)(自然对数), @SIGN(X)(符号函数), @SIN(X), @SMAX(X1,X2,...,XN)(求N个数的最大值), @SMIN(X1,X2,...,XN), @TAN(X)(正切函数).
◆ 概率函数: 参见LINGO 5.0 USSER’S MANUAL->LINGO’S OPERATORS AND FUNCTIONS->PROBABILITY FUNCTIONS.
◆ 变量域函数: 如果不用下面的函数明确修改变量的取值范围,LINGO认为每个变量都是非负实数, 你可用下面的命令修改LINGO的默认值. @BIN(var)限制变量VAR为一个二进制数,即VAR取值为0或1, @BND(A,var,B)限制变量VAR在区间[A,B]内, @FREE(var)取消变量VAR是非负数的限制,即它可以是负数, @GIN(var)限制变量VAR为一个整数.
以上是对LINGO所作的最简单的介绍, LINGO中即提供了一个详细的帮助文件, 这可在LINGO中的HELP菜单得到, 同时它也提供了几十个演示程序, 这可以在LINGO中打开FILE菜单的OPEN选项, 然后选取LINGO目录中的SAMPLES子目录, 这个子目录中都是LINGO的例子, 用OPEN装入后即可求解. 下面是LINGO中SAMPLE目录下的演示程序BOX.LG4.
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! 程序名: BOX.LG4;
! !是对程序的注解;
! 每一个规划都以”MODEL:”开始, 又以”END”结束, 也可以省略此结构;
MODEL:
! 下面表示求2*(.05*(d*w+d*h)+.1*w*h)的最小值,LINGO中的命令都以分号结束;
! 用方括号”[]”括起来的字符串如[COST]对实际计算没有什么用处, 但它会使LINGO的;
! 输出结果一目了然, 具体请看看输出结果, 你就知道这些方括号的用处了;
[COST] min = 2*( .05*(d*w + d*h) +.1*w*h);
! 以下都是约束条件;
[SURFACE] 2*(h*d + h*w + d*w) >= 888;
[VOLUME] h*d*w >= 1512;
[NOTNARRO] h/w <= .718;
[NOTHIGH] h/w >= .518;
[FOOTPRNT] d*w <= 252;
END
在按下求解键后,LINGO输出计算结果为(其中汉字是我加入的,使你能看明白):
! 总共6行, 3个变量, 整数变量没有
Rows= 6 Vars= 3 No. integer vars= 0
! 非线性行数 6行 非线性变量 3个 非线性限制条件 5个
Nonlinear rows=6 Nonlinear vars=3 Nonlinear constraints=5
Nonzeros= 20 Constraint nonz= 12 Density=0.833
No. < : 2 No. =: 0 No. > : 3, Obj=MIN Single cols= 0
! 进行到第9次求出解来, 其解为50.96508
Local optimal solution found at step: 9
Objectiv value: 50.96508
! 以下是具体数值
Variable Value Reduced Cost
D 23.03096 0.0000000
W 9.562196 0.0000000
H 6.865657 0.0000000
! 下面是约束条件的误差限
Row Slack or Surplus Dual Price
COST 50.96508 1.000000
SURFACE -0.1247204E-05 -0.2342588E-01
VOLUME -0.1937612E-05 -0.1329933E-01
NOTNARRO 0.1185074E-10 2.298546
NOTHIGH 0.2000000 0.0000000
FOOTPRNT 31.77343 0.0000000
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上面计算得出, 在最小值处D=23.03096, W=9.562196, H=6.865657, 下面我们将D限制在1.5到10.5之间, 取消W是非负值的限制, 让H取一个整数值, 则改成如下:
!程序名: BOX.LG4, 已经改动
MODEL:
[COST] min = 2*( .05*(d*w + d*h) +.1*w*h);
@BND(1.5,d,10.5); @FREE(W); @GIN(H);
[SURFACE] 2*(h*d + h*w + d*w) >= 888;
[VOLUME] h*d*w >= 1512;
[NOTNARRO] h/w <= .718;
[NOTHIGH] h/w >= .518;
[FOOTPRNT] d*w <= 252;
END
其实, @BND(1.5,d,10.5)可以在限制条件中, 用D>=1.5及D<=10.5来代替, 但@FREE(W)与 @GIN(H)是不能用别的来代替的, @GIN()可用于求整数规划. 将此程序运行一下, 看看会有什么结果?
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下面我们再提出一个问题: 如果目标函数在不同的区域中, 取不同的值, 那么, 怎么计算, 你可能注意到, 这里的关键是目标函数的表达方式, 可以用LINGO中的逻辑运算符: #NOT#, #EQ#, #NE#, #GT#, #GE#, #LT#, #LE#, #AND#, #OR#. 这些运算符, 当条件满足时, 返回数值1, 否则返回数值0, 比如对(D #LT# 1), 当D<1时, 其值为1, 否则为0, 因此, 如果将BOX.LG4的目标函数改一下, 改成当D<1,W<2,H<3时, 还是原来的那个函数, 而当D,H,W取其它值时, 目标函数变成3*(D+W+H), 则目标函数就变成如下形式:
MODEL:
[COST] min = ((d #LT# 1) #AND# (W #LT# 2) #AND# (H #LT# 3))*2*( .05*(d*w + d*h) +.1*w*h) + #NOT#((d #LT# 1) #AND# (W #LT# 2) #AND# (H #LT# 3))*3*(W+D+H);
[SURFACE] 2*(h*d + h*w + d*w) >= 888;
[VOLUME] h*d*w >= 1512;
[NOTNARRO] h/w <= .718;
[NOTHIGH] h/w >= .518;
[FOOTPRNT] d*w <= 252;
END
当然了, 限定条件也可以按一面的方式进行修改. 下面是修改后的运行结果.
Local optimal solution found at step: 14
Objective value: 109.9803
Variable Value Reduced Cost
D 12.43758 0.1774019E-08
W 14.09926 0.0000000
H 10.12327 0.0000000
Row Slack or Surplus Dual Price
COST 109.9803 1.000000
SURFACE 0.1136868E-12 -0.6192584E-01
VOLUME 263.2218 0.0000000
NOTNARRO 0.0000000 4.041292
NOTHIGH 0.2000000 0.0000000
FOOTPRNT 76.63941 0.0000000
可能你觉得, 目标函数的这种写法太复杂, 都几乎看不清是怎么回事了, 那么, 我们引入2个变量, 你就一目了然了.
MODEL:
A=((d #LT# 1) #AND# (W #LT# 2) #AND# (H #LT# 3));
B= #NOT#((d #LT# 1) #AND# (W #LT# 2) #AND# (H #LT# 3));
[COST] min = A*2*( .05*(d*w + d*h) +.1*w*h) + B*3*(W+D+H);
[SURFACE] 2*(h*d + h*w + d*w) >= 888;
[VOLUME] h*d*w >= 1512;
[NOTNARRO] h/w <= .718;
[NOTHIGH] h/w >= .518;
[FOOTPRNT] d*w <= 252;
END
这次的运算结果与上面的一样,只不过LINGO还会给出A和B的值.
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LINGO中有一个语句DATA, 可以利用它来输入数值数据. 请看对BOX.LG4的修改
MODEL:
DATA: ! 此语句必须以”DATA:”开始, 以”ENDDATA”结束;
const1 = 1512; const2 = 0.1; ! 这是定义2个常量;
input1 = ?; ! 程序运行到此处时,会弹出一个对话框,要求你输入input1的值;
input2 = ?; ! 输入input2的值;
! 也可写成 input1 , input2=?, ?;
ENDDATA
[COST] min = input1*( .05*(d*w + d*h) + const2*w*h);
[SURFACE] 2*(h*d + h*w + d*w) >= input2;
[VOLUME] h*d*w >= const1;
[NOTNARRO] h/w <= .718;
[NOTHIGH] h/w >= .518;
[FOOTPRNT] d*w <= 252;
END
再看看下面的函数, y=4x2-x4-3, 其函数图象为:
其最大值点为为x=, 下面是运用LINGO求解的程序:
model:
[MAX] max=4*x^2-x^4-3;
@free(x);
init:
x=2;
endinit
end
其中, “init: ... endinit”命令是给变量设一个初值, 不同的初值不仅会影响求解的精度, 而且对某些问题, 有可能会给出不同的结果, 例如, 对此问题, 初值x=2时将会得到最大值点为1.414213, 取初值x=-2, 会得到-1.414213, 但请注意, @free(x)不能忘了写, 它表示取消x非负值的约定, 否则只能得到1.414213.
有了以上的说明,你就可用LINGO进行简单规划问题的求解了, 但是, 如果你还想用到LINGO中更为复杂的功能, 求解更为复杂的规划问题, 就得了解LINGO的语法. 下面是LINGO的语法说明:
SET命令: SET是LINGO中的一个最基本的命令, 使用它, 你可以将相似的限制条件归结到一起, 将一个很长的表达式用更为简单的方式表达出来. SET中的每个成员可能有一个或多个属性, SET命令与其它计算机语言中对变量的定义是一样的. 在一个求解模型中, 可以有SET命令, 可以没有SET命令, 也可以有多个SET命令, 它的定义如下:
SET:
setname [/ member_list /] [: attribute_list];
......
ENDSET
SET在模型中的位置要满足: 当求解模型用到SET中的成员(即变量)时, 它一定被定义. 你可以将上面的SETNAME理解成模型中的一个变量, 如果有MEMBER_LIST, 则表示该变量是一个数组, MEMBER_LIST为该数组的取值范围, 而最后面的ATTRIBUTE_LIST(属性)就是变量的实际值, 此值的具体大小一般在DATA中定义. 其中, 方括号中的内容都是可选的. 请看下面的例子.
SETS:
PRODUCT / A B/;
MACHINE / M N/;
WEEK / 1..10/;
ALLOWED( PRODUCT, MACHINE, WEEK);
X / / : X_RANGE;
Y /1 2 3 4 5 6/: Y_RANGE;
ENDSETS
变量PRODUCT是数组,取值于PRODUCT(A)或PRODUCT(B), 而WEEK也是数组,取值于WEEK(1)到WEEK(10), ALLOWED是由上面的3个数组变量定义的, 它实际上是一个3维数组. X则是一个变量, 它的值取自于X_RANGE. Y是一个数组即Y(1)到Y(6), 它有值Y_RANGE.
而SET中所出现的变量的属性值由DATA语句来设置. 如
SETS:
SET1 /A, B, C/: X, Y;
ENDSETS
DATA:
X = 1 2 3;
Y = 4 5 6;
ENDDATA
实际上，上面的说法有些地方是不确切的，这是因为LINGO中的数组与我们通常所提及的数组还是有点不一样。下面我编了一个演示程序，它不能计算优化问题，它和我们所通常看到的按顺序执行的计算机程序是一样的，这个程序演示了数组、FOR循环、SUM命令的使用方法，对于其它的命令，可以参考此程序，其中，以“！”开始的行是注释行。
如果你想在LINGO中执行此程序，不用重新输入，只要用鼠标从都是“！”的行的下一行开始，一直选中到本文件的结束，然后将这段COPY到LINGO中即可。另外，这段程序在光盘上的LINGO目录下，文件名是DEMO.LG4，你可以装入此程序，直接在LINGO中运行。
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!用SETS与ENDSET定义数组;
sets:
!定义数组a,其引用值为value1(1),value1(2),......,value1(5);
!在FOR,SUM等命令中的引用名称为a(1),a(2),......,a(6) ;
a/1..5/:value1;
!定义数组b,其引用值为value2(1),value2(2),......,value2(6);
!在FOR,SUM等命令中的引用名称为b(1),b(2),......,b(6) ;
b/1..6/:value2;
!定义数组c,其引用值为:
!value3(1,1),value3(1,2),......,value3(1,6);
!value3(2,1),value3(2,2),......,value3(2,6);
!..............................................................
!value3(5,1),value3(5,2),......,value3(5,6)
!在FOR,SUM等命令中的引用名称为c(i,j) ;
c(a,b):value3;
!定义数组d,维数与c一样;
d(a,b):value4;
endsets
!数组的赋值要用DATA与ENDDATA命令;
data:
!为数组a,b,d赋值;
!value1(1)=11,value1(2)=22,value1(3)=33,value1(4)=44,value1(5)=55;
value1=11 22 33 44 55;
!value2(1)=1,value2(2)=2,value2(3)=3,value2(4)=4,value2(5)=5,value2(6)=6;
value2=1 2 3 4 5 6;
!value4(1,1)=1,value4(1,2)=2,value4(1,3)=3,value4(1,4)=4,value4(1,5)=5,value4(1,6)=6;
!value4(2,1)=7,value4(2,2)=8,value4(2,3)=9,value4(2,4)=10,value4(2,5)=11,value4(2,6)=12;
!value4(3,1)=13,value4(3,2)=14,value4(3,3)=15,value4(3,4)=16,value4(3,5)=17,value4(3,6)=18;
!value4(4,1)=19,value4(4,2)=20,value4(4,3)=21,value4(4,4)=22,value4(4,5)=23,value4(4,6)=24;
!value4(5,1)=25,value4(5,2)=26,value4(5,3)=27,value4(5,4)=28,value4(5,5)=29,value4(5,6)=30;
value4= 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30;
enddata
!下面是一个二重循环,即C=A.B+D;
@for(a(i):
@for(b(j):
value3(i,j)=value1(i)*value2(j)+value4(i,j)
)
);
!对数组a求和;
total_a=@sum(a(i):value1(i));
!对数组b,去掉前4个元素求和;
total_b=@sum(b(i)|i #LT# 4:value2(i));
!求数组d的和;
total_d=@sum(d(i,j):value4);
!对数组d,求对角线元素的和;
total_c=@sum(c(i,j)|i #EQ# j:value4(i,j));