一个M*N矩阵中有不同的正整数,经过这个格子,就能获得相应价值的奖励,先从左上走到右下,再从右下走到左上。第1遍时只能向下和向右走,第2遍时只能向上和向左走。两次如果经过同一个格子,则该格子的奖励只计算一次,求能够获得的最大价值。
例如:3 * 3的方格。
1 3 3
2 1 3
2 2 1
能够获得的最大价值为:17。1 -> 3 -> 3 -> 3 -> 1 -> 2 -> 2 -> 2 -> 1。其中起点和终点的奖励只计算1次。
分析: 只走一次的问题我们之前分析过。现在要走两次,有什么好办法呢? 我们设想,有两个人都从左上角走到右下角,这和走到终点再返回是一样的,我们可以dp么?怎么dp?先看看按照之前那种方法dp两次行不行? 看下图:
(1,1)->(1,2)->(1,3)->(1,4)->(1,5)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(5,3)->(5,4)->(5,5)
这两条路径取得了全部的100,这两条路径是最优的!
如果第一条路径先找最优的,就要走路径(1,1)->(1,2)->(1,3)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)。
但是这样(1,5)和(5,3)的两个100就分开了,第二条路径至多取到一个100。事实上,我们可以选取这样的两条路径:
但是这样(1,5)和(5,3)的两个100就分开了,第二条路径至多取到一个100。事实上,我们可以选取这样的两条路径:
(1,1)->(1,2)->(1,3)->(1,4)->(1,5)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(5,3)->(5,4)->(5,5)
这两条路径取得了全部的100,这两条路径是最优的!
没招了么?其实我们可以“两个人一起”dp(让两个人同时走)。
用dp[x1][y1][x2][y2]表示第一个人在(x1,y1) 并且第二个人在(x2,y2)时的最大值。
我们有初值dp[1][1][1][1] = a[1][1], 求的是dp[m][n][m][n]。
问题来了: 每个人走一步,状态转移是什么?
dp[x1][y1][x2][y2] = max{dp[x1’][y1’][x2’][y2’]} + a[x1][y1] + a[x2][y2]
其中(x1’,y1’)是(x1,y1)的邻居,(x2’,y2’)是(x2,y2)的邻居。
事实上,因为我们有这个等式提示我们其实只要用3维就可以表示这个矩阵,因为 y2 = x1 + y1 – x2所以那一维可以用走多少步表示出来。
用dp[x1][y1][x2][y2]表示第一个人在(x1,y1) 并且第二个人在(x2,y2)时的最大值。
我们有初值dp[1][1][1][1] = a[1][1], 求的是dp[m][n][m][n]。
问题来了: 每个人走一步,状态转移是什么?
dp[x1][y1][x2][y2] = max{dp[x1’][y1’][x2’][y2’]} + a[x1][y1] + a[x2][y2]
其中(x1’,y1’)是(x1,y1)的邻居,(x2’,y2’)是(x2,y2)的邻居。
事实上,因为我们有这个等式提示我们其实只要用3维就可以表示这个矩阵,因为 y2 = x1 + y1 – x2所以那一维可以用走多少步表示出来。
dp[step + 1][x1][x2] = max{dp[step][x1’][x2’]} + a[x1][y1] + a[x2][y2]
图中为step做了编号。
然而这个dp并没有体现出走到相同格子,数字仅计算一次的要求。那么我们加上这个条件:如果x1 = x2,dp[step + 1][x1][x2] = max{dp[step][x1’][x2’]} + a[x1][y1]。
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
输出示例
输入
第1行:2个数M N,中间用空格分隔,为矩阵的大小。(2 <= M, N <= 200) 第2 - N + 1行:每行M个数,中间用空格隔开,对应格子中奖励的价值。(1 <= A[i,j] <= 10000)
输出
输出能够获得的最大价值。
输入示例
3 3 1 3 3 2 1 3 2 2 1
输出示例
17
请选取你熟悉的语言,并在下面的代码框中完成你的程序,注意数据范围,最终结果会造成Int32溢出,这样会输出错误的答案。