动态规划[入门]1- 最大子矩阵和

分析

我们已经解决了一维的问题（基础篇中的最大子段和问题），现在变成二维了，我们看看能不能把这个问题转化为一维的问题。最后子矩阵一定是在某两行之间的。假设我们认为子矩阵在第i行和第j列之间，我们如何得到i和j呢，对，枚举。  枚举所有1<=i<=j<=M,表示最终子矩阵选取的行范围。

 

我们把每一列第i行到第j行之间的和求出来，形成一个数组c,于是一个第i行到第j行之间的最大子矩阵和对应于这个和数组c的最大子段和。于是，我们的算法变为：

 

for i = 1 to M do
	for j = i to M do
		//计算第每列第i行到第j列的和
		 for k = 1 to N do
			c[k] = (j == i)?a[i][k] : (c[k] + a[j][k])
		 endfor
                         //求c的最大子段和 记录全局最优结果
	endfor
endfor

 

我们看看标为红色的部分 就是求每列第i行到第j行之间的所有数的和，我们没有再用一个循环求，而是随着j的增长，每次把第j行的结果叠加到之前的和上。 另外求c的最大子数组和是个线性时间算法，实际上它可以和那个k的for循环合并在一起，不过不影响时间复杂度。时间复杂度是O(M^2N)。

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

 

输入

第1行：M和N，中间用空格隔开（2 <= M,N <= 500)。
第2 - N + 1行：矩阵中的元素，每行M个数，中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9)

输出

 

输出和的最大值。如果所有数都是负数，就输出0。

 

输入示例

3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2

输出示例

7

#最大子矩阵
def array(n):
    a=[]
    for i in range(n):
        a.append(0)
    return a    
def array2(m,n):
    a=[]
    for i in range(m):
        b=array(n)
        a.append(b)
    return a                
line=input().split()
m=int(line[0])
n=int(line[1])
a=array2(n,m)
c=array(m)
for i in range(n):
    line=input().split()
    for j in range(m):
        a[i][j]=int(line[j])
ans=-10000000000
for i in range(n):
    for j in range(i,n):        
        for k in range(m):
            c[k]=a[j][k] if i==j else c[k]+a[j][k]
        last=-10000000000
        for k in range(m):
            last=max(last,0)+c[k]
            ans=max(ans,last)    
print(ans)            

超时！python的运行效率阿！！

#include<cstdio>
int max(int a,int b){
    if (a>b) return a;
    else return b;
}
int main(){
    int m,n;
    int a[500][500],c[500],ans,last;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for (int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    ans=-1000000000;    
    for(int i=0;i<n;i++)
        for (int j=i;j<n;j++)
        {    
            for(int k=0;k<m;k++)
                if (i==j) c[k]=a[j][k];
                else c[k]+=a[j][k];
            last=-1000000000;
            
            for(int k=0;k<m;k++)
            {
                
                last=max(last,0)+c[k];
                ans=max(ans,last);
            }                
        }        
    printf("%ld",ans);    
}