欧拉定理和函数的一些理解
欧拉定理
先放式子：
[a^{varphi(m)}equiv 1pmod{m}
]
前提是 (gcd(a,m)=1)。
证明：
设 (r_1,r_2,...r_{varphi(m)}) 为 (mod m) 意义下的一个简化剩余系，那么 (ar_1,ar_2,...ar_{varphi(m)}) 也为 (mod m) 意义下的一个简化剩余系。
所以：
[r_1r_2...r_{varphi(m)}equiv ar_1ar_2...ar_{varphi(m)}pmod{m}
]
化简：
[r_1r_2...r_{varphi(m)}equiv a^{varphi(m)}r_1r_2...r_{varphi(m)}pmod{m}
]
两边一消，则可得 (a^{varphi(m)}equiv 1pmod{m})。
扩展欧拉定理：
[a^bequiv egin{cases}
a^{bmod varphi(m)},&gcd(a,m)=1\
a^{b},&gcd(a,m)
eq 1,b<varphi(m)\
a^{bmod varphi(m)+varphi(m)},&gcd(a,m)
eq 1,bge varphi(m)
end{cases}
]
证明还不会。
欧拉函数：
定义： ([1,N]) 中与 (N) 互质的数的个数被称为欧拉函数。
求法：(varphi(N)=N*Pi_{i=1}^{s}frac{p_i-1}{p_i})，(s) 为 (N) 质因数分解后互异素数的个数。
证明：
- 引理：设 (p) 为任意质数，那么 (varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1))
- 证明：显然对于 (ain [1,p^k])，只有 (a) 为 (p) 的倍数时才会与 (p^k) 不互质，而在 ([1,N]) 中只有 (p^{k-1}) 个 (p) 的倍数，所以 (varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1))
- 由唯一分解定理 (N=Pi_{i=1}^sp_i^{m_i})，又因为 (varphi) 的奇性，所以 (varphi(N)=Pi_{i=1}^svarphi(p_i^{m_i})=N*Pi_{i=1}^sfrac{p_i-1}{p_i})
性质：
-
欧拉函数是一个奇性函数，(varphi(ab)=varphi(a)varphi(b)) 当 (gcd(a,b)=1)
-
(n=Pi_{d|n}varphi(d))
证明：
- 如果 (gcd(k,n)=d)，则 (gcd(frac{k}{d},frac{n}{d})=1)
- 设 (f_x) 表示 (sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=x])，那么 (n=sum_{i=1}^nf_i)
- 由以上两条性质可以推出 (f_i=varphi(frac{n}{i}))，因此 (n=sum_{i=1}^nvarphi(frac{n}{i}))，转换成枚举 (frac{n}{d})，则 (n=sum_{i=1}^nvarphi(i))
-
设 (p) 为质数，若 (p|n) 且 (p^2|n)，则 (varphi(n)=varphi(n/p) imes p)
-
若 (p|n) 且 (p^2 mid n)，则 (varphi(n)=varphi(n/p) imes (p-1))
3，4的性质直接根据朴素求法即可得。
因此欧拉函数可以根据奇性函数的性质线筛，也可以根据 (3,4) 线筛。