• NOIP 模拟 $87; m 肯德基$


    题解 (by;zjvarphi)

    推一下式子:

    [f(x)=mu(x)^2x\ mu(x)^2=sum_{d^2|x}mu(d)\ f(x)=xsum_{d^2|x}mu(d)\ ]

    原式就等于:

    [sum_{i=1}^nisum_{d^2|i}mu(d) ]

    调整枚举顺序:

    [sum_{d=1}^{sqrt n}sum_{i=1}^{frac{n}{d^2}}mu(d)d^2i\ sum_{d=1}^{sqrt n}mu(d)d^2sum_{i=1}^{frac{n}{d^2}}i\ ]

    注意,文中的 (frac{n}{d^2}) 都是向下取整。

    这里来证明一下为什么 (mu(x)^2=sum_{d^2|x}mu(d))

    如果 (x) 中没有平方因子,那么 (mu(x)^2)(1)(d=1) 时恰好贡献了 (1)

    如果有,那么考虑通过容斥的角度证明。

    假设 (x) 中有 (k) 个平方质因子,那么选一个的时候被多减去了,在选两个的时候补回来,可以画一个维恩图理解一下。

    其实也就是 (sum_{i=0}^n(-1)^iinom{n}{i}),其实就是二项式定理。

    化完的式子直接整除分块即可,复杂度 (sqrt n+Tsqrt[3] n)

    Code
    #include<bits/stdc++.h>
    #define ri signed
    #define pd(i) ++i
    #define bq(i) --i
    #define func(x) std::function<x>
    namespace IO{
        char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
        #define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?(-1):*p1++
        #define debug1(x) std::cerr << #x"=" << x << ' '
        #define debug2(x) std::cerr << #x"=" << x << std::endl
        #define Debug(x) assert(x)
        struct nanfeng_stream{
            template<typename T>inline nanfeng_stream &operator>>(T &x) {
                bool f=false;x=0;char ch=gc();
                while(!isdigit(ch)) f|=ch=='-',ch=gc();
                while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc();
                return x=f?-x:x,*this;
            }
        }cin;
    }
    using IO::cin;
    namespace nanfeng{
        #define FI FILE *IM
        #define FO FILE *OUT
        template<typename T>inline T cmax(T x,T y) {return x>y?x:y;}
        template<typename T>inline T cmin(T x,T y) {return x>y?y:x;}
        using ull=unsigned long long;
        static const int N=1e7+7;
        int mu[N],prim[N],cnt,T;
        bool vis[N];
        ull sum[N],a;
        auto Getmu=[]() {
            const int n=N-7;
            mu[1]=1;
            for (ri i(2);i<=n;pd(i)) {
                if (!vis[i]) mu[prim[++cnt]=i]=-1;
                for (ri j(1);j<=cnt&&1ll*i*prim[j]<=n;pd(j)) {
                    const int cur=i*prim[j];
                    vis[cur]=true;
                    if (!(i%prim[j])) break;
                    mu[cur]=-mu[i];
                }
            }
            for (ri i(1);i<=n;pd(i)) sum[i]=sum[i-1]+1ull*mu[i]*i*i;
        };
        auto cal=[](ull n) {return n&1?n*((n+1)/2):(n/2)*(n+1);};
        auto calc=[](ull x) {
            ull res=0,lim=sqrt(x);
            for (ull l(1),r;l<=lim;l=r+1) {
                r=cmax(l,(ull)sqrt(x/(x/l/l)));
                res+=(sum[r]-sum[l-1])*cal(x/l/l);
            }
            return res;
        };
        inline int main() {
            FI=freopen("kfc.in","r",stdin);
            FO=freopen("kfc.out","w",stdout);
            Getmu();
            cin >> T;
            for (ri i(1);i<=T;pd(i)) cin >> a,printf("%llu
    ",calc(a));
            return 0;
        }
    }
    int main() {return nanfeng::main();}
    
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