【BZOJ4872】分手是祝愿（期望DP）

题意：

B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为

从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏

的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被

改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机

操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，

可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个

策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使

用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定

是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

 

思路：更正：下图中g[i]=((n-i)*g[i+1]+n)/i，官方题解谋财害命

我不是很了解最后一张图在说什么

const mo=100003;
var head,a:array[1..200000]of longint;
    vet,next:array[1..5000000]of longint;
    exf,f,g:array[0..200000]of int64;
    n,k1,i,j,t,e,v,tot:longint;
    s,ans:int64;

procedure add(a,b:longint);
begin
 inc(tot);
 next[tot]:=head[a];
 vet[tot]:=b;
 head[a]:=tot;
end;

function mult(x,y:int64):int64;
begin
 mult:=1;
 while y>0 do
 begin
  if y and 1=1 then mult:=mult*x mod mo;
  x:=x*x mod mo;
  y:=y>>1;
 end;
end;

begin
 assign(input,'bzoj4872.in'); reset(input);
 assign(output,'bzoj4872.out'); rewrite(output);
 readln(n,k1);
 exf[0]:=1; exf[1]:=1;
 for i:=2 to 100003 do exf[i]:=exf[mo mod i]*(mo-mo div i) mod mo;
 for i:=1 to n do read(a[i]);
 for i:=1 to n do
  for j:=1 to n div i do
  begin
   t:=j*i;
   add(t,i);
  end;
 for i:=n downto 1 do
  if a[i]=1 then
  begin
   inc(s);
   e:=head[i];
   while e<>0 do
   begin
    v:=vet[e];
    a[v]:=a[v] xor 1;
    e:=next[e];
   end;
  end;
 if s<=k1 then
 begin
  for i:=1 to n do s:=s*i mod mo;
  writeln(s);
  close(input);
  close(output);
  exit;
 end;
 g[n]:=1;
 for i:=n-1 downto k1+1 do
  g[i]:=(g[i+1]*(n-i) mod mo+n) mod mo*exf[i] mod mo;
 for i:=1 to k1 do g[i]:=1;
 for i:=0 to k1 do f[i]:=i;
 for i:=k1+1 to n do f[i]:=(f[i-1]+g[i]) mod mo;
 ans:=f[s];
 for i:=1 to n do ans:=ans*i mod mo;
 writeln(ans);
 close(input);
 close(output);
end.