模糊集

1. 集合

1.1 集合论的简介

     19世纪末，德国数学家康托创立了集合论，并快速渗透数学的各个分支。1965年，M国加州大学伯克利分校电气工程系扎德(Zadeh)教授在期刊“Information and Control”上发表了一篇开创性得论文“Fuzzy Sets”,文章使用了隶属函数的概念，用来刻画差异的中间过程。该论文是模糊理论的基础，同时也标志着模糊集合理论的诞生。

1.2     集合的概念

(1) 集合的概念(高中阶段)
一般地，指定的某些对象的全体称为集合。比如：所有1班的同学称为一个集合。
(2) 集合的概念(大学阶段)
给定论域(X)和某些性质或者属性(P),(X)满足性质(P)的所有元素组成的全体称为集合(Set)。比如：({X|X>2,Xin{N}})
注意：论域指研究范围。
(3) 通俗理解
集合就是一堆事物且满足：确定性、互异性、无序性。
(4) 集合论中的悖论
罗素悖论：
在很早以前的一个村庄里, 只有一个理发师, 他规定只替而且一定替不给自己理发的人理发。这就引出一个问题: 他该不该给自理发?

1.3 集合的表示方法

(1) 列举法：对于有限集，可以将所有的元素一一列举出来，并用大括号括起来。
(2) 描述法：对于无限集，我们可以根据元素的定义来描述集合。
(3) 特征函数法：用解析形式描述元素属于集合的程度。

1.4 特征函数定义

任意给定一个集合(A)，我们定义

[mathcal{X}_A= egin{cases} 1 , & ext{$xin{A}$}\ 0 , & ext{$x otin{A}$} end{cases} ]

为集合(A)的特征函数。特征函数在一定意义上可以代表集合，因此可以通过特征函数来研究集合的结构和性质。

1.5 模糊集合简介

    在经典的集合论中，论域中的元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合。即(mathcal{X}_A=1)或(mathcal{X}_A=0).这种集合我们称它为“硬集(Crisp Sets)”.在生活中，我们试图将5个学生分为“高个子学生”和“矮个子学生”的集合时，用传统的集合论来划分很难应用。针对这种边界不明确的事物分类，扎德提出模糊集合概念。

1.6 模糊集合悖论

古希腊悖论：
一粒种子肯定不叫一堆,两粒种子也不是,三粒种子也不是,....,但是所有得人都同意一亿粒种子肯定是一堆种子，那么它们得界限在哪里呢？

1.6 模糊子集的定义

设集合(A)是集合(U)的子集，若对于任意(U)中的元素(x)，用隶属度函数(mu_A(x))来表示(x)对(A)的隶属程度，则(A)为(U)的一个模糊子集，记为(A={mu_A(x),x}).